2025年八年级几何综合四边形压轴题综合训练(真题)含解析及答案.docxVIP

2025年八年级几何综合四边形压轴题综合训练(练习题)含解析及答案

已知在平行四边形ABCD中，AB=8，AD=5，∠DAB=60°，点E从点A出发沿AB边向点B匀速运动，速度为2单位/秒；同时点F从点D出发沿DC边向点C匀速运动，速度为1单位/秒。连接DE、BF，设运动时间为t秒（0≤t≤4）。

（1）当t=1时，求△ADE的面积；

（2）是否存在某一时刻t，使得四边形DEBF为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（3）连接EF，当t为何值时，以D、E、B、F为顶点的四边形是菱形？

解析及答案：

（1）当t=1时，AE=2×1=2。在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AD=5，∠DAB=60°。过点D作DH⊥AB于点H，在Rt△ADH中，∠DAH=60°，AD=5，则DH=AD·sin60°=5×(√3/2)=(5√3)/2。△ADE的面积=1/2×AE×DH=1/2×2×(5√3)/2=(5√3)/2。

（2）假设存在时刻t，使得四边形DEBF为平行四边形。在平行四边形ABCD中，AB=DC=8，AB∥DC，故DF=t×1=t，FC=8?t；AE=2t，EB=AB?AE=8?2t。

若四边形DEBF为平行四边形，则需满足DE∥BF且DE=BF（或EB∥DF且EB=DF）。由于AB∥DC，EB和DF均在AB、DC上，故EB∥DF恒成立，因此只需EB=DF即可。

EB=8?2t，DF=t，令8?2t=t，解得t=8/3。此时t=8/3在0≤t≤4范围内，故存在t=8/3秒时，四边形DEBF为平行四边形。

（3）以D、E、B、F为顶点的四边形是菱形，需满足四边相等或对角线互相垂直平分。由于D、E、B、F四点中，D、B为定点，E、F为动点，先分析四边形的形状：

在平行四边形ABCD中，D(0,0)，可建立平面直角坐标系辅助分析：设点A在x轴上，A(5,0)（因AD=5，∠DAB=60°，则AB在x轴上方），但更简便的方式是利用坐标法：

设D为原点(0,0)，AD在x轴上，则A(5,0)（AD=5）。因∠DAB=60°，AB=8，故点B的坐标为A(5,0)加上AB的向量：AB的水平分量为8×cos60°=4，垂直分量为8×sin60°=4√3，故B(5+4,0+4√3)=(9,4√3)。DC平行且等于AB，故C点坐标为D(0,0)+AB向量=(4,4√3)（因DC=AB=8，方向与AB相同）。

点E从A(5,0)沿AB向B(9,4√3)运动，速度为2单位/秒，AB的长度为8，故运动时间t内，E点移动的距离为2t，占AB的比例为2t/8=t/4。因此E点坐标可表示为A+t/4×AB向量=(5+4×(t/4),0+4√3×(t/4))=(5+t,√3t)。

点F从D(0,0)沿DC向C(4,4√3)运动，速度为1单位/秒，DC长度为8（因AB=8，平行四边形对边相等），故F点移动的距离为t，占DC的比例为t/8，因此F点坐标为D+t/8×DC向量=(0+4×(t/8),0+4√3×(t/8))=(t/2,(√3t)/2)。

菱形的四边相等，即DE=EB=BF=FD。但需明确四边形的顶点顺序：D、E、B、F，故边为DE、EB、BF、FD。

计算各边长度：

-DE：D(0,0)到E(5+t,√3t)的距离：√[(5+t)2+(√3t)2]=√[25+10t+t2+3t2]=√[4t2+10t+25]

-EB：E(5+t,√3t)到B(9,4√3)的距离：√[(9?(5+t))2+(4√3?√3t)2]=√[(4?t)2+(√3(4?t))2]=√[(4?t)2(1+3)]=√[4(4?t)2]=2|4?t|（因t≤4，故为2(4?t)）

-BF：B(9,4√3)到F(t/2,(√3t)/2)的距离：√[(9?t/2)2+(4√3?(√3t)/2)2]=√[(9?t/2)2+(√3(4?t/2))2]=√[(9?t/2)2+3(4?t/2)2]

展开计算：(9?t/2)2=81?9t+t2/4，3(4?t/2)2=3(16?4t+t2/4)=48?12t+3t2/4，总和为81?9t+t2/4+48?12t+3t2/4=129?21t+t2，故BF=√(t2?21t+129)

-FD：F(t/2,(√3t)/2)到D(0,0)的距离：√[(t/2)2+((√3t)/2)2]=√[t2/4+3t2/4]=√t2=t（t≥0）

菱形要求四边