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大学数学积分试题及答案
一、单选题（每题2分，共20分）
1.下列函数中，在区间[-1,1]上不可积的是（）（2分）
A.f(x)=x^2
B.f(x)=|x|
C.f(x)=1/x
D.f(x)=sin(x)
【答案】C
【解析】函数f(x)=1/x在x=0处有奇点，因此在区间[-1,1]上不可积。
2.若函数f(x)在[a,b]上连续，则下列说法正确的是（）（2分）
A.∫[a,b]f(x)dx存在，但可能不收敛
B.∫[a,b]f(x)dx一定收敛
C.若∫[a,b]f(x)dx存在，则f(x)在[a,b]上连续
D.若∫[a,b]f(x)dx存在，则f(x)在[a,b]上可导
【答案】B
【解析】根据定积分的定义，若函数在闭区间上连续，则其定积分一定存在且收敛。
3.下列积分中，值等于1的是（）（2分）
A.∫[0,1]e^xdx
B.∫[1,2]1/xdx
C.∫[-1,1]sin(x)dx
D.∫[0,1]cos(x)dx
【答案】A
【解析】∫[0,1]e^xdx=e^1-e^0=e-1≠1；∫[1,2]1/xdx=ln(2)-ln(1)=ln(2)≠1；∫[-1,1]sin(x)dx=-cos(1)+cos(-1)=0；∫[0,1]cos(x)dx=sin(1)-sin(0)=sin(1)≠1。
4.若f(x)是奇函数，则∫[-a,a]f(x)dx等于（）（2分）
A.0
B.a∫[0,a]f(x)dx
C.2∫[0,a]f(x)dx
D.-a∫[0,a]f(x)dx
【答案】A
【解析】根据奇函数的性质，∫[-a,a]f(x)dx=0。
5.下列广义积分中收敛的是（）（2分）
A.∫[1,∞]1/x^2dx
B.∫[1,∞]1/xdx
C.∫[0,1]1/xdx
D.∫[1,∞]e^xdx
【答案】A
【解析】∫[1,∞]1/x^2dx=1；∫[1,∞]1/xdx=∞；∫[0,1]1/xdx=-∞；∫[1,∞]e^xdx=∞。
6.若f(x)的原函数是F(x)，则f(2x)的原函数是（）（2分）
A.F(2x)
B.2F(2x)
C.1/2F(2x)
D.F(x/2)
【答案】C
【解析】令u=2x，则d(u)=2dx，所以∫f(2x)dx=1/2∫f(u)du=1/2F(u)=1/2F(2x)。
7.下列积分计算正确的是（）（2分）
A.∫x^2dx=x^3/3+C
B.∫x^3dx=x^4/4+C
C.∫xdx=x^2/2+C
D.∫1/xdx=ln|x|+C
【答案】D
【解析】∫x^2dx=x^3/3+C；∫x^3dx=x^4/4+C；∫xdx=x^2/2+C；∫1/xdx=ln|x|+C。
8.若f(x)在[a,b]上连续，则下列不等式正确的是（）（2分）
A.∫[a,b]f(x)dx≤∫[a,b]|f(x)|dx
B.∫[a,b]f(x)dx≥∫[a,b]|f(x)|dx
C.∫[a,b]f(x)dx=∫[a,b]|f(x)|dx
D.∫[a,b]f(x)dx=∫[a,b]f(-x)dx
【答案】A
【解析】根据绝对值的性质，|f(x)|≥f(x)，所以∫[a,b]|f(x)|dx≥∫[a,b]f(x)dx。
9.若函数f(x)在[a,b]上可积，则下列说法正确的是（）（2分）
A.f(x)在[a,b]上连续
B.f(x)在[a,b]上可导
C.f(x)在[a,b]上必有界
D.f(x)在[a,b]上必有零点
【答案】C
【解析】根据可积函数的性质，若函数在闭区间上可积，则该函数在闭区间上有界。
10.下列积分计算正确的是（）（2分）
A.∫[0,π/2]sin(x)dx=1
B.∫[0,1]e^xdx=e
C.∫[0,1]1/xdx=1
D.∫[0,1]cos(x)dx=1
【答案】A
【解析】∫[0,π/2]sin(x)dx=-cos(x)|[0,π/2]=-cos(π/2)+cos(0)=1；∫[0,1]e^xdx=e-1≠e；∫[0,1]1/xdx=-∞≠1；∫[0,1]cos(x)dx=sin(x)|[0,1]=sin(1)-sin(0)=sin(1)≠1。
二、多选题（每题4分，共20分）
1.下列函数中，在区间[-1,1]上可积的有（）（4分）
A.f(x)=x^2
B.f(x)=|x|
C.f(x)=1/x
D.f(x)=sin(x)
【答案】A、B、D
【解析】函数f(x)=x^2和f(x)=|x|在区间[-1,1]上连续，因此可积；f(x)=1/x在x=0处有奇点，不可积；f(x)=sin(x)在区间[-1,1]上连续，因此可积。
2.下列积分计算正确的有（）（4分）
A.∫[0,1]xdx=1/2
B.∫[1,2]1/xdx=ln(2)
C.∫[0,1]e^xdx=e-1
D
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