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数学并集符号详解

一、并集的定义与符号

基本定义并集是集合论中的基本运算，指将两个或多个集合的所有元素合并组成的新集合，记作A∪B（读作“A并B”）。其数学定义为：\即并集中的元素只需属于原集合中的任意一个即可。

符号解析

符号“∪”：兼具操作与结构意义，表示集合的合并运算。

韦恩图表示：两个集合的并集在图中表现为两圆阴影覆盖的所有区域（如下图）。

A

A

B

B

A

A

BA

B

A

二、并集的核心性质

代数性质

性质

数学表达

说明

交换律

A∪B=B∪A

并集顺序不影响结果

结合律

(A∪B)∪C=A∪(B∪C)

多集合并集可省略括号

幂等律

A∪A=A

集合与自身并集仍为原集合

单位元（空集）

A∪?=A

空集不改变原集合内容

包含关系

A∪B?A且A∪B?B

并集包含原集合所有元素

特殊关系

子集关系：若A?B，则A∪B=B。

互补性：A∪(补集A)=全集U。

三、并集的运算规则

有限并集

示例：

A={1,2,3},B={3,4,5}→A∪B={1,2,3,4,5}

数集运算：偶数集∪奇数集=整数集。

无限并集

定义：无限并集是指由无限多个集合的所有元素合并组成的新集合。其数学定义为：设为一个集合族（即由集合构成的集合，其中为索引集合），则这些集合的无限并集记作：

其元素满足：

x∈

即，x属于无限并集当且仅当存在某个索引i，使得x属于对应的集合。

容斥原理两集合的并集大小计算公式：

|A∪B|=|A|+|B|?|A∩B|

适用于避免重复计数。

四、并集的图形化表示

韦恩图（VennDiagram）

单层并集：两圆部分重叠，阴影覆盖全部区域（见图1）。

多层并集：多个圆叠加，阴影表示所有参与集合的覆盖范围。

特殊情况：

完全包含：A?B时，A∪B=B。

不相交：A∩B=?时，A∪B元素数为|A|+|B|。

数轴表示适用于连续数集，如A=[1,3],B=[2,5]，则A∪B=[1,5]。

五、并集的实际应用

数学问题

解方程：求不等式解集的并集，如{x|x-1∨x2}。

概率论：事件A或事件B发生的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。

计算机科学

数据库查询：合并多个查询结果集。

编程语言：Python中set1|set2或set1.union(set2)实现并集运算。

逻辑分析

命题逻辑：命题“A或B”对应的集合运算即并集。

六、常见误区与注意事项

混淆符号

并集（∪）vs交集（∩）：前者为“或”，后者为“且”。

错误示例：将A∪B误认为仅包含同时属于A和B的元素。

无限并集的误解

无限并集并非简单叠加，需严格遵循集合定义。例如，自然数集与偶数集的并集仍为自然数集。

空集处理

空集与任何集合的并集等于原集合，需避免遗漏空集情况。

七、扩展学习：并集的扩展运算

对称差集

定义：仅属于A或仅属于B的元素，记作A△B=(A∪B)-(A∩B)。

性质：满足交换律和结合律。

补集运算

全集U中，A的补集为U-A，与并集结合可推导德摩根律：

A∪B

八、练习题与答案

已知集合A={1,3,5}，B={1,2,x2?1}，若A∪B={1,2,3,5}

x=±2B.x=±6C.

解析：x2?1必须属于A，即x2?1=3或5，解得x=±2或

答案：A

设全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,3}，B={3,5}，则(A∪B)

解析：A∪B={1,3,5}，补集为U中剩余元素。

答案：{2,4}

已知集合A={x|?2≤x≤5}，B={x|m+1x2m?1}，且B?A，求实数的取值范围。

A.B.C.D.

解析：为空集时，；非空时，需满足且，解得。

答案：A

设集合A={x|x2+4x=0}

若A∪B=B，求的值；

若A∩B=B，求的值。

解析：A={?4,0}。

(1)，需满足为的子集，解得。

(2)，需满足，解得。

答案：(1)；(2)

某网店统计三天售出商品种类：第一天19种，第二天13种，第三天18种。前两天共售出3种，后两天共售出4种。

求：(1)第一天售出但第二天未售出的商品种数；

(2)三天最少售出多少种商品。

解析：

(1)第一天售出但第二天未售出：种。

(2)最小总数：种。

答案：(1)16；(2)43

设集合，，且，求的值。

解析：，解得。