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初中数学函数章节教学设计与习题解析

函数作为初中数学的核心内容，不仅是学生从具体数学向抽象数学过渡的关键一步，也是后续学习更高级数学知识的重要基石。其概念的抽象性、与实际问题的紧密联系以及数形结合的思维方式，对教师的教学设计和学生的学习能力都提出了较高要求。本文旨在从教学实际出发，探讨函数章节的教学设计思路，并结合典型习题进行解析，以期为教学实践提供有益参考。

一、函数章节教学目标与重难点分析

（一）教学目标

1.知识与技能：使学生理解函数的基本概念，能识别常量与变量，理解自变量与函数值的意义；掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法）及其各自特点；重点掌握一次函数（包括正比例函数）、反比例函数、二次函数的概念、图像和基本性质，并能运用这些知识解决简单的实际问题。

2.过程与方法：引导学生经历从实际问题中抽象出函数关系的过程，体会数学建模思想；通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力；强化数形结合的思想方法，让学生学会从图像中获取信息，并能用图像描述函数关系。

3.情感态度与价值观：感受函数在描述现实世界变化规律中的重要作用，体验数学的应用价值；在探究函数性质的过程中，培养学生的探究精神和合作意识，激发学习数学的兴趣。

（二）教学重难点

1.教学重点：

*函数的概念，特别是对“两个变量间的单值对应关系”的理解。

*一次函数（含正比例函数）、反比例函数、二次函数的定义、图像特征和基本性质（如增减性、对称性等）。

*运用函数知识解决简单的实际问题。

2.教学难点：

*函数概念的形成过程及准确理解，如何从具体实例中抽象出函数关系。

*函数图像的绘制与解读，尤其是从图像中分析函数的性质。

*数形结合思想的初步建立与灵活运用。

*二次函数的图像与性质，以及涉及参数时的分类讨论。

*将实际问题转化为函数模型。

二、函数章节教学策略与过程建议

（一）函数概念的引入与深化

函数概念的教学应从学生熟悉的生活实例或已学过的数学问题入手，如：

*行程问题：一辆汽车以恒定速度行驶，路程随时间的变化而变化。

*购物问题：购买同一种商品，总价随数量的变化而变化。

*几何问题：正方形的面积随边长的变化而变化；圆的周长随半径的变化而变化。

通过对这些实例的分析，引导学生发现其中存在的两个变量，以及这两个变量之间存在的某种确定的依赖关系。进而引出常量、变量的概念，并逐步抽象出函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。

关键点拨：

*强调“两个变量”。

*强调“x的每一个确定的值”，即自变量的取值范围（定义域）。

*强调“y有唯一确定的值与其对应”，这是函数概念的核心——单值对应。可以通过举例（如一个x值对应多个y值的情况）让学生辨析，加深理解。

函数的表示方法是概念的延伸，应引导学生掌握解析法、列表法、图像法各自的特点和优势，并能根据实际情况选择合适的表示方法。特别是图像法，它是数形结合思想的直接体现，应鼓励学生动手绘制简单函数的图像，感受图像的直观性。

（二）一次函数（含正比例函数）的教学

1.定义引入：从具体的函数解析式入手，如y=2x，y=3x+1，观察它们的共同特征（自变量的次数是1，等号两边都是整式），从而引出一次函数的定义：形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。当b=0时，即y=kx（k是常数，k≠0），叫做正比例函数。

2.图像与性质探究：

*画图：引导学生通过列表、描点、连线的步骤画出几个具体一次函数的图像（如y=2x，y=-2x，y=x+1，y=-x-1），观察图像形状（都是一条直线）。

*k的作用：通过对比k值不同（正、负、绝对值大小）的一次函数图像，总结k对函数图像的影响：k决定了直线的倾斜方向和倾斜程度。k0，直线从左到右上升；k0，直线从左到右下降。|k|越大，直线越陡。

*b的作用：通过对比b值不同的一次函数图像（如y=2x与y=2x+3，y=2x-1），总结b是直线与y轴交点的纵坐标，即直线与y轴交于点(0,b)。

*性质归纳：结合图像，引导学生总结一次函数的增减性：当k0时，y随x的增大而增大；当k0时，y随x的增大而减小。

3.与一元一次方程、一元一次不等式的联系：

*一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=0的解。

*一次函数y=kx+b的图像在x轴上方（或下方）部分对应的x的取值范围，就是一元一次不等式kx+b0（或kx+b0）的解集。

（三）反比例函数的教学