非线性系统分析 (3).pptVIP

如果非线性特性为式（7-4）所描述的带死区滞环的继电特性，按式（7-4）将相平面划分为3个区域，当时该系统的数学模型为：整个系统的相轨迹场如图7—10。这里，又看到了非线性系统的另一特殊现象——极限环。极限环是一条封闭曲线，它是一些相轨迹的极限，但它又不是奇点。第61页，共103页，星期日，2025年，2月5日图7-10具有继电特性的非线性系统第62页，共103页，星期日，2025年，2月5日极限环对应的响应曲线是等幅振荡，但是，在干扰环境中，这种等幅振荡能否持续下去，要看极限环的性质。图7-11表示了两个极限环，较大的一个称为不稳定极限环——极微小的干扰就可能导致振荡发散或衰减到零，较小的一个称为稳定极限环——即使干扰使振荡短时离开极限环，干扰消失后又会回到极限环。极限环是非线性系统特有的现象，也是一种随处可见的现象，可以说，凡是能持续振荡的动态系统，都是运行在稳定极限环上，钟摆的摆动、电子振荡器等都是例证。县然，在干扰环境中，线性系统不可能产生持续等幅振荡，因为极微小的干扰就可能导致振荡发散或衰减到零。第63页，共103页，星期日，2025年，2月5日图7-11极限环的稳定性返回第64页，共103页，星期日，2025年，2月5日§7.5描述函数法描述函数法是达尼尔(P.J.Daniel)于1940年提出的,它是线性系统频率法在非线性系统中的推广，是非线性系统稳定性的近似判别法，它要求系统具有良好的低通特性并且非线性较弱，描述函数法的优点是能用于高阶系统。第65页，共103页，星期日，2025年，2月5日在频率特性一章中，我们已经看到，对于线性时不变系统，当输入为正弦函数时输出也是同频率的正弦函数，输出和输入只有幅值和相位的差别。对于非线性系统，当输入为正弦函数时输出是同频率的非正弦函数，也就是说输出中含有高次谐波，可见线性系统的频率法不适用于非线性系统。现在，我们试图将线性系统中的频率法改进后用于非线性系统。考虑图7-8所示的系统，如果其线性动态部分具有良好的低通特性，那么系统信号中的高次谐波就被大大衰减，可以用基波来近似，这是非线性特性在频域的线性化。7.5.1描述函数定义第66页，共103页，星期日，2025年，2月5日为了将频率法推广到非线性系统,我们首先定义静态非线性环节的描述函数,设非线性环节y=f(x)的输入为正弦函数：式中，X是正弦函数的幅值。将非线性环节的输出分解为富氏级数：第67页，共103页，星期日，2025年，2月5日式中如果非线性特性是奇对称的，那么直流分量A0=0，这时输出的基波分量是：第68页，共103页，星期日，2025年，2月5日如果函数y=f(x)是已知的，X是一个待定常数，那么些由式求出的只与X有关，记作。描述函数定义为输出的基波分量与输入正弦函数的复数比(P297)：显然，描述函数是X的函数，描述函数可以理解为非线性环节在忽略高次谐波情况下的非线性增益——这个增益与输入正弦函数的幅值有关。如果非线性特性是单值奇对称的，那么：第69页，共103页，星期日，2025年，2月5日下面用几个例子说明描述函数是如何计算出来的。1）死区特性：考虑图7-12（a）所示死区特性，当输入为正弦函数时，输出如图7-12（b）所示，因为图7-12（a）的死区特性是单值奇对称的，所以，7.5.2典型非线性特性的描述函数第70页，共103页，星期日，2025年，2月5日并且注意到第71页，共103页，星期日，2025年，2月5日所以所以第72页，共103页，星期日，2025年，2月5日图7-12求死区特性的描述函数第73页，共103页，星期日，2025年，2月5日图7-5例7-1的相轨迹与时间响应7.2.2相轨迹图绘制相轨迹图有多种办法，概括起来有如下几类：第一类：手工绘制概略图。概略图就象相轨迹的第29页，共103页，星期日，2025年，2月5日‘素描’，它是根据相轨迹的基本特征、特殊点、特殊线等信息而‘随手’画出的草图，它虽然在具体细节上缺乏精度，但却能提供许多重要的定性结论。第二类：手工图解绘制近似图。在计算机未得到广泛应用的年代，人们研究出好几种手工近似作图法，如等倾线法、δ法等。这些手工作图法要绘出有一定精度的相轨迹图是十分繁琐的，如今已没有多大实用价值。第三类：计