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五年级奥数之等差数列完整版

等差数列是小学奥数中的重要内容，它不仅是数学基础知识的重要组成部分，更是培养学生逻辑思维能力和数学推理能力的重要载体。对于五年级学生而言，掌握等差数列的概念、性质及其应用，不仅能够为后续学习更复杂的数学知识奠定坚实基础，还能有效提升学生的数学思维品质和解决问题的能力。

本教材将从等差数列的基本概念入手，系统讲解等差数列的定义、通项公式、求和公式等核心内容，并通过丰富的例题和练习，帮助学生深入理解等差数列的本质特征，掌握解决等差数列问题的基本方法和技巧。同时，教材还将注重培养学生的数学思维，引导学生从不同角度思考问题，提高分析问题和解决问题的能力。

一、等差数列的基本概念

等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。等差数列的首项通常用字母a?表示，第n项用字母a?表示。

1.1等差数列的定义

如果一个数列a?,a?,a?,,a?满足条件：a?a?=a?a?==a?a???=d（常数），那么这个数列就叫做等差数列，常数d叫做这个等差数列的公差。

例如：数列2,5,8,11,14,就是一个等差数列，其中首项a?=2，公差d=3。

1.2等差数列的表示方法

等差数列可以用多种方式表示：

（1）列举法：直接列出数列的各项，如：3,7,11,15,19,

（2）通项公式法：用公式表示数列的第n项，即a?=a?+(n1)d

（3）递推公式法：用前一项表示后一项，即a???=a?+d

1.3等差数列的分类

根据公差d的不同取值，等差数列可以分为三类：

（1）递增等差数列：当公差d0时，数列的各项逐渐增大。例如：1,4,7,10,13,

（2）递减等差数列：当公差d0时，数列的各项逐渐减小。例如：20,17,14,11,8,

（3）常数列：当公差d=0时，数列的各项都相等。例如：5,5,5,5,5,

1.4等差数列的判定方法

（1）定义法：计算相邻两项的差，如果所有相邻两项的差都相等，则该数列为等差数列。

（2）通项公式法：如果一个数列的通项公式可以表示为a?=a?+(n1)d的形式，则该数列为等差数列。

（3）递推公式法：如果一个数列满足递推关系a???=a?+d（d为常数），则该数列为等差数列。

1.5等差数列的基本性质

（1）对称性：在等差数列中，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和。即：a?+a?=a?+a???=a?+a???=

（2）线性性质：等差数列的通项公式是关于n的一次函数，即a?=dn+(a?d)

（3）等距性质：在等差数列中，任意两项a?和a?（mn）的差为a?a?=(mn)d

这些基本概念和性质是学习等差数列的基础，掌握好这些内容，将为后续学习等差数列的通项公式、求和公式以及解决实际问题奠定坚实的基础。

二、等差数列的通项公式与求和公式

2.1通项公式

等差数列的通项公式是解决等差数列问题的核心工具。对于首项为a?，公差为d的等差数列，其第n项的通项公式为：

a?=a?+(n1)d

这个公式的推导过程非常直观：第二项比第一项多一个d，第三项比第一项多两个d，依此类推，第n项比第一项多(n1)个d。

例如：已知等差数列3,7,11,15,，求第10项。

解：a?=3，d=4，n=10

a??=3+(101)×4=3+36=39

2.2求和公式

等差数列前n项的和用S?表示，其求和公式为：

S?=n(a?+a?)/2或S?=na?+n(n1)d/2

第一个公式的含义是：前n项的和等于项数乘以首末两项的平均数。第二个公式则是将通项公式代入第一个公式后得到的变形。

例如：求等差数列2,5,8,11,14,17,20的前7项和。

解法一：a?=2，a?=20，n=7

S?=7×(2+20)/2=7×11=77

解法二：a?=2，d=3，n=7

S?=7×2+7×6×3/2=14+63=77

三、等差数列的应用问题

3.1求项数问题

在实际问题中，经常需要根据已知条件求等差数列的项数。这时可以利用通项公式a?=a?+(n1)d进行求解。

例如：一个等差数列的首项是5，公差是3，末项是47，求这个数列有多少项。

解：a?=5，d=3，a?=47

47=5+(n1)×3

42=(n1)×3

n1=14

n=15

3.2求特定项问题

有时需要求等