数列突破_高中数学50题集锦——夯实基础，轻松掌握数列核心.docxVIP

数列突破_高中数学50题集锦——夯实基础，轻松掌握数列核心

引言

在高中数学的知识体系中，数列是一块至关重要的内容。它不仅是高考的重点考查对象，而且在实际生活和科学研究中也有着广泛的应用。数列问题能够很好地考查学生的逻辑思维能力、运算能力以及综合运用知识的能力。然而，对于许多学生来说，数列却是一个难以攻克的堡垒，复杂的通项公式、求和方法常常让人摸不着头脑。为了帮助同学们更好地掌握数列的核心知识，我们精心整理了这50道数列题目，通过对这些题目的分析和解答，让大家夯实基础，轻松应对数列问题。

数列的基本概念与通项公式

等差数列通项公式的应用

1.已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_7=13\)，求\(a_{10}\)。

分析：本题可先根据等差数列的通项公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)（其中\(a_1\)为首项，\(d\)为公差），结合已知条件求出\(a_1\)和\(d\)，再求\(a_{10}\)。

解答：设等差数列\(\{a_n\}\)的公差为\(d\)，则\(\begin{cases}a_1+2d=5\\a_1+6d=13\end{cases}\)，用第二个方程减去第一个方程可得：\(4d=8\)，解得\(d=2\)。将\(d=2\)代入\(a_1+2d=5\)，可得\(a_1=5-2\times2=1\)。所以\(a_{10}=a_1+9d=1+9\times2=19\)。

2.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(S_3=9\)，\(S_6=36\)，求\(a_7+a_8+a_9\)的值。

分析：根据等差数列的性质，\(S_3\)，\(S_6-S_3\)，\(S_9-S_6\)也成等差数列。

解答：因为\(S_3=9\)，\(S_6=36\)，所以\(S_6-S_3=36-9=27\)。设\(S_9-S_6=x\)，由于\(S_3\)，\(S_6-S_3\)，\(S_9-S_6\)成等差数列，则\(2(S_6-S_3)=S_3+(S_9-S_6)\)，即\(2\times27=9+x\)，解得\(x=45\)，而\(a_7+a_8+a_9=S_9-S_6=45\)。

等比数列通项公式的应用

3.已知等比数列\(\{a_n\}\)中，\(a_2=2\)，\(a_5=16\)，求\(a_n\)。

分析：同样根据等比数列的通项公式\(a_n=a_1q^{n-1}\)（其中\(a_1\)为首项，\(q\)为公比），结合已知条件求出\(a_1\)和\(q\)。

解答：设等比数列\(\{a_n\}\)的公比为\(q\)，则\(\begin{cases}a_1q=2\\a_1q^4=16\end{cases}\)，用第二个方程除以第一个方程可得：\(q^3=8\)，解得\(q=2\)。将\(q=2\)代入\(a_1q=2\)，可得\(a_1=1\)。所以\(a_n=2^{n-1}\)。

4.已知等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(S_3=7\)，\(S_6=63\)，求\(a_n\)。

分析：先根据等比数列的前\(n\)项和公式\(S_n=\begin{cases}na_1(q=1)\\\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(q\neq1)\end{cases}\)，判断\(q\)是否等于\(1\)，再求出\(a_1\)和\(q\)。

解答：当\(q=1\)时，\(S_3=3a_1\)，\(S_6=6a_1\)，则\(\frac{S_6}{S_3}=2\)，而\(\frac{63}{7}=9\neq2\)，所以\(q\neq1\)。由\(\begin{cases}\frac{a_1(1-q^3)}{1-q}=7\\\frac{a_1(1-q^6)}{1-q}=63\end{cases}\)，用第二个方程除以第一个方程可得：\(\frac{1-q^6}{1-q^3}=9\)，即\(1+q^3=9\)，解得\(q=2\)。将\(q=2\)代入\(\frac{a_1(1-q^3)}{1-q}=7\)，可得\(a_1=1\)。所以\(a_n=2^{n-1}\)。

由递推关系求通项公式

5.已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_{n+1}=a_n+2n\)，\(a_1