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动点问题教学与全等三角形案例讲解

在初中几何教学中，动点问题因其对学生动态思维、空间想象及综合运用知识能力的考查而占据重要地位。这类问题往往使学生感到抽象和难以捉摸，而全等三角形作为平面几何中的基本工具，为解决动点问题提供了坚实的理论基础和有效的证明途径。本文将结合教学实践，探讨动点问题的教学策略，并通过具体案例详细阐述全等三角形在其中的应用，旨在为一线教学提供有益的参考。

一、动点问题的教学策略与核心思想

动点问题的核心在于“动”，其特点是图形中的某个或某几个元素按照一定的规律运动，导致图形的形状、位置或数量关系随之发生变化。教学中，教师应着力培养学生以下几方面的能力与意识：

（一）化动为静，以静制动

运动是绝对的，静止是相对的。引导学生在运动过程中寻找静止的瞬间，将动态问题转化为静态问题来研究。即关注动点在运动路径上的“特殊位置”，如起点、终点、转折点，以及满足特定条件（如全等、垂直、平行等）的位置。通过对这些特殊静态位置的分析，往往能找到解决问题的突破口。

（二）过程分析与状态捕捉

强调学生对动点运动全过程的细致分析，明确动点的运动轨迹（直线、射线、线段、圆弧等）、运动速度（若涉及）、运动范围及起始时间。在此基础上，引导学生捕捉动点运动过程中，图形所经历的不同“状态”。不同的状态下，几何图形的构成可能不同，所适用的几何性质也可能存在差异。

（三）数学语言表达与规范书写

动点问题的解答过程往往需要清晰的逻辑推理和严谨的数学表达。教学中要训练学生准确运用几何语言描述动点的位置、运动过程以及图形的性质。书写证明或解答过程时，要条理清晰，步骤完整，尤其在涉及分类讨论时，要明确分类标准，不重不漏。

（四）变式训练与思维拓展

通过设计一系列变式问题，如改变动点的运动轨迹、速度、起始位置，或改变图形的初始条件等，引导学生从不同角度思考问题，深化对动点问题本质的理解，培养其思维的灵活性和深刻性。

二、全等三角形在动点问题中的案例讲解

全等三角形的判定与性质，是解决许多几何问题的“金钥匙”，在动点问题中也不例外。下面通过两个典型案例，具体说明如何运用全等三角形的知识解决动点问题。

案例一：直线上的动点与三角形全等

问题情境：如图1，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=OB，点C为线段AB上一动点（不与A、B重合），过点C分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为D、E。

（1）求证：矩形ODCE的周长为定值；

（2）在点C运动过程中，△AED与△BCE是否全等？若全等，求出点C的位置；若不全等，请说明理由。

(图1示意：坐标系中，A在x轴正半轴，B在y轴正半轴，OA=OB，AB连线，C在AB上，CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，ODCE为矩形)

讲解过程：

(1)证明矩形ODCE的周长为定值

审题分析：题目中“OA=OB”是一个关键条件，暗示△AOB可能为等腰直角三角形。点C是线段AB上的动点，ODCE是矩形，其周长为2(OD+OE)。要证周长为定值，即证OD+OE为定值，而OA（或OB）是已知图形中的定长线段，故考虑OD+OE与OA的关系。

思路探寻：设OA=OB=a（a为常数）。因为CD⊥x轴，CE⊥y轴，所以四边形ODCE是矩形，故OD=CE，OE=CD，且∠DCE=90°。又因为OA=OB，∠AOB=90°，所以∠OAB=∠OBA=45°。在Rt△AEC中，∠CAE=45°，所以CE=AE。同理，在Rt△CDB中，CD=DB。因此，OD=CE=AE，OE=CD=DB。则OD+OE=AE+DB。而AE=OA-OE=a-OE，DB=OB-OD=a-OD。这里似乎绕回来了？换个角度：OD+OE=CE+CD。而AE=CE，BD=CD，所以AE+BD=CE+CD=OD+OE。又因为AB=AE+EC+CD+DB？不，AB是线段，AC+CB=AB，而AC=√2CE，CB=√2CD，所以AB=√2(CE+CD)=√2(OD+OE)。因为AB的长度是固定的（由OA=OB=a可求），所以OD+OE=AB/√2=a（因为AB=√(OA2+OB2)=√2a，所以AB/√2=a）。因此，矩形ODCE的周长为2(OD+OE)=2a，是定值。

规范书写：(过程略，按上述思路整理，强调几何关系的转化和等量代换)

(2)△AED与△BCE是否全等？

审题分析：要判断△AED与△BCE是否全等，需先明确两个三角形的对应顶点。点A对应点B，点E是公共点吗？还是点A对应点C？需要根