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立体几何题题库及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）

1.一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线（）

A.平行

B.相交

C.异面

D.垂直

答案：A

解析：根据线面平行的性质定理，如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

2.已知圆锥的底面半径为\(1\)，母线长为\(3\)，则该圆锥的体积为（）

A.\(2\sqrt{2}\pi\)

B.\(\sqrt{2}\pi\)

C.\(\frac{2\sqrt{2}\pi}{3}\)

D.\(\frac{\sqrt{2}\pi}{3}\)

答案：C

解析：圆锥的高\(h=\sqrt{l^{2}-r^{2}}=\sqrt{3^{2}-1^{2}}=2\sqrt{2}\)，体积\(V=\frac{1}{3}\pir^{2}h=\frac{1}{3}\pi×1^{2}×2\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}\pi}{3}\)。

3.空间中垂直于同一条直线的两条直线（）

A.平行

B.相交

C.异面

D.以上都有可能

答案：D

解析：比如墙角处的三条交线，两两垂直，垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面。

4.若一个球的体积为\(36\pi\)，则它的表面积为（）

A.\(9\pi\)

B.\(18\pi\)

C.\(36\pi\)

D.\(72\pi\)

答案：C

解析：由球的体积公式\(V=\frac{4}{3}\piR^{3}=36\pi\)，可得\(R=3\)，再根据表面积公式\(S=4\piR^{2}=36\pi\)。

5.已知平面\(\alpha\)，\(\beta\)，直线\(m\)，\(n\)，若\(m\subset\alpha\)，\(n\subset\alpha\)，且\(m\parallel\beta\)，\(n\parallel\beta\)，则\(\alpha\)与\(\beta\)的位置关系是（）

A.平行

B.相交

C.平行或相交

D.以上都不对

答案：C

解析：当\(m\)与\(n\)平行时，\(\alpha\)与\(\beta\)可能平行；当\(m\)与\(n\)相交时，\(\alpha\)与\(\beta\)相交。

6.正三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)的底面边长为\(2\)，侧棱长为\(\sqrt{3}\)，则侧面对角线\(AB_{1}\)与\(BC_{1}\)所成角的大小为（）

A.\(30^{\circ}\)

B.\(45^{\circ}\)

C.\(60^{\circ}\)

D.\(90^{\circ}\)

答案：C

解析：将三棱柱补成四棱柱\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)，连接\(C_{1}D\)，\(BD\)，则\(\angleBC_{1}D\)就是\(AB_{1}\)与\(BC_{1}\)所成角。由已知可得\(BC_{1}=C_{1}D=BD=2\sqrt{2}\)，所以\(\angleBC_{1}D=60^{\circ}\)。

7.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为\(2\)，则球的表面积是（）

A.\(8\pi\)

B.\(12\pi\)

C.\(16\pi\)

D.\(20\pi\)

答案：B

解析：正方体的体对角线长就是球的直径\(2R=\sqrt{2^{2}+2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{3}\)，则\(R=\sqrt{3}\)，球的表面积\(S=4\piR^{2}=12\pi\)。

8.已知直线\(l\perp\)平面\(\alpha\)，直线\(m\subset\)平面\(\beta\)，有下列四个命题：

①若\(\alpha\parallel\beta\)，则\(l\perpm\)；②若\(\alpha\perp\beta\)，则\(l\parallelm\)；③若\(l\parallelm\)，则\(\alpha\perp\beta\)；④若\(l\perpm\)，则\(\alpha\parallel\beta\)。

其中正确的命题是（）

A.①②

B.③④

C.①③

D.②④

答案：C

解析：①若\(\alpha\parallel