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多校联考高三文科数学试题及解析

引言

高三阶段的每一次联考，都是对同学们阶段性学习成果的重要检验，也是一次宝贵的实战演练机会。文科数学的学习，不仅要求我们对基本概念、公式定理有扎实的掌握，更强调运用这些知识分析和解决问题的能力。本次多校联考的数学试题，在遵循高考命题趋势的基础上，注重考查核心素养，力求体现选拔性与导向性。本文将对本次联考的部分典型试题进行深度解析，希望能为同学们后续的复习备考提供有益的参考。

试题部分

题目1（选择题）

已知集合A={x|log?(x-1)≤1}，集合B={x|x2-4x+30}，则A∩B=（）

A.(1,2]B.(2,3)C.[2,3)D.(1,3)

题目2（填空题）

已知向量a=(m,2)，b=(1,m-1)，若a与b共线且方向相反，则实数m的值为________。

题目3（解答题）

已知函数f(x)=sin2x+√3sinxcosx+2cos2x，x∈R。

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0,π/2]上的最大值和最小值。

解析部分

题目1解析

本题主要考查集合的运算以及对数不等式、一元二次不等式的解法。

首先，求解集合A。由log?(x-1)≤1，根据对数函数的单调性（底数21，为增函数），可得：

0x-1≤21，即0x-1≤2。

解得1x≤3，所以集合A=(1,3]。

接着，求解集合B。解不等式x2-4x+30，因式分解得(x-1)(x-3)0。

其对应的方程(x-1)(x-3)=0的根为x=1和x=3。

由于二次函数开口向上，不等式的解集为两根之间，即1x3，所以集合B=(1,3)。

最后，求A∩B。集合A是(1,3]，集合B是(1,3)，它们的交集是同时属于A和B的元素组成的集合，即(1,3)。

故本题正确答案为D。

易错点提示：解对数不等式时，务必注意对数的真数必须大于0，这是容易忽略的前提条件。

题目2解析

本题考查向量共线的坐标表示以及向量方向的判断。

已知向量a=(m,2)，b=(1,m-1)。若两向量共线，则它们的坐标对应成比例，即存在实数λ，使得a=λb。

由此可得方程组：

m=λ·1

2=λ·(m-1)

将第一个方程λ=m代入第二个方程，得到2=m(m-1)，即m2-m-2=0。

解这个一元二次方程，因式分解得(m-2)(m+1)=0，所以m=2或m=-1。

接下来判断方向。当m=2时，a=(2,2)，b=(1,1)，此时a=2b，λ=20，两向量方向相同，不符合题意“方向相反”，故舍去。

当m=-1时，a=(-1,2)，b=(1,-2)，此时a=-1·b，λ=-10，两向量方向相反，符合题意。

因此，实数m的值为-1。

方法总结：向量共线的坐标表示是解决此类问题的核心，求出参数后务必根据题目要求（如方向相同或相反）进行检验，避免多解或错解。

题目3解析

本题主要考查三角函数的恒等变换、三角函数的周期性以及三角函数在闭区间上的最值问题。

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期。

首先对函数f(x)进行化简：

f(x)=sin2x+√3sinxcosx+2cos2x

观察到sin2x+cos2x=1，所以可以将2cos2x拆分为cos2x+cos2x，即：

f(x)=(sin2x+cos2x)+√3sinxcosx+cos2x

=1+√3sinxcosx+cos2x

对于cos2x，利用二倍角公式cos2x=(1+cos2x)/2；对于sinxcosx，利用二倍角公式sin2x=2sinxcosx，即sinxcosx=sin2x/2。

代入上式得：

f(x)=1+√3·(sin2x/2)+(1+cos2x)/2

=1+(√3/2)sin2x+1/2+(cos2x)/2

=(1+1/2)+(√3/2)sin2x+(1/2)cos2x

=3/2+(√3/2sin2x+1/2cos2x)

注意到√3/2=cos(π/6)，1/2=sin(π/6)，所以括号内的式子可以利用两角和的正弦公式：

sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)

这里A=2x，B=π/6，因此：

√3/2sin2x+1/2cos2x=sin(2x+π/6)

所以f(x)=3/2+sin(2x+π/6)

函数y=sin(2x+π/6)的最小正周期T=2π/|ω|=2π/