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考研数学二(函数、极限、连续)模拟试卷及答案

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、选择题：

1.函数f(x)=ln(x·√(1-x^2))的定义域是().

(A)(-1,1)

(B)[-1,1]

(C)(-1,1]

(D)[-1,1)

2.设数列{a_n}收敛于A，数列{b_n}发散，则下列结论可能成立的是().

(A){a_n+b_n}收敛

(B){a_n*b_n}收敛

(C){a_n/b_n}收敛

(D){b_n-a_n}发散

3.函数f(x)=sin(x^2)在区间(-π,π)上().

(A)无界

(B)既有最大值又有最小值

(C)只有最大值

(D)只有最小值

4.极限lim(x→0)(x*arctan(1/x))存在且等于().

(A)0

(B)1

(C)-1

(D)不存在

5.当x→0时，下列函数中为x的高阶无穷小的是().

(A)sin(x)

(B)ln(1+x)

(C)√(1+x)-1

(D)x*sin(x)/x^2

6.函数f(x)=|x|在x=0处().

(A)极限存在

(B)连续

(C)可导

(D)间断

7.若函数f(x)在x=c处可导，且lim(x→c)(f(x)-f(c))/(x-c)=-k(k≠0)，则lim(x→c)(f(x)+k)/(x+c)等于().

(A)-k/2

(B)k/2

(C)-2k

(D)2k

8.函数f(x)=e^x-2x在区间(-1,1)内().

(A)至少有一个零点

(B)没有零点

(C)至少有两个零点

(D)零点个数无法确定

二、填空题：

1.函数f(x)=arcsin(3x-2)的定义域是________.

2.极限lim(x→∞)(x+sin(x)/x)=________.

3.若函数f(x)在x=0处连续，且f(0)=1，lim(x→0)(f(x)-1)/x=2，则lim(x→0)f(x)=________.

4.函数f(x)=|x-1|在区间[0,2]上的最大值是________，最小值是________.

5.若当x→0时，(1-cos(x))/(ax^2)→1/2，则常数a=________.

三、解答题：

1.求极限lim(x→1)[(x^2-1)/(x-1)]*[ln(x)/(x-1)].

2.讨论函数f(x)={x^2sin(1/x)ifx≠0;0ifx=0}在x=0处的连续性。若不连续，指出间断点类型。

3.计算极限lim(x→0+)(e^x-sqrt(1+x))/x.

4.设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)*f(b)0，证明：存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0.

5.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx+1在x=1处有极大值0，求常数a和b的值。

试卷答案

一、选择题：

1.(A)

2.(D)

3.(B)

4.(A)

5.(D)

6.(A)

7.(A)

8.(A)

二、填空题：

1.[-1/3,1/3]

2.1

3.3

4.2,0

5.1

三、解答题：

1.解：原式=lim(x→1)[(x+1)(x-1)/(x-1)]*[ln(x)/(x-1)]

=lim(x→1)(x+1)*lim(x→1)[ln(x)/(x-1)]

=2*lim(x→1)[ln(x/1)/(x-1)](令t=x-1)

=2*lim(t→0)[ln(1+t)/t](利用等价无穷小ln(1+t)~t)

=2*1

=2.

2.解：因为lim