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大一高等数学基础阶段测试题及答案

大一高等数学基础阶段测试题

考试时间：120分钟满分：100分

一、选择题（每题3分，共15分）

下列极限存在的是（）

A.\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x}B.\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x^2}C.\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}D.\lim\limits_{x\to+\infty}\cosx

函数f(x)=\begin{cases}x^2+1,x\geq0\\ax+b,x0\end{cases}在x=0处连续，则（）

A.a=0,b=1B.a任意，b=1C.a=1,b=0D.a任意，b=0

设y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})，则y=（）

A.\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}B.\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}C.\sqrt{x^2+1}D.\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}

曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线方程为（）

A.y=-3x+3B.y=3x-3C.y=-x+1D.y=x-1

下列定积分值为0的是（）

A.\int_{-1}^1x^2dxB.\int_{-1}^1x\sinxdxC.\int_{-1}^1(x+\cosx)dxD.\int_{-1}^1x^3dx

二、填空题（每题3分，共15分）

\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan2x}{x}=__________

函数f(x)=x^3-3x的单调递增区间为__________

设y=xe^x，则y=__________

\int(x^2+\sqrt{x}-\frac{1}{x})dx=__________

\int_0^{\pi}\sinxdx=__________

三、解答题（每题10分，共60分）

计算极限\lim\limits_{x\to1}\frac{x^3-1}{x^2-1}

求函数y=(2x+1)^5的导数

求函数f(x)=x^4-2x^2+3的极值

计算不定积分\intx\cosxdx

计算定积分\int_0^1xe^{x^2}dx

求曲线y=x^2与直线y=x所围成的平面图形的面积

四、应用题（10分）

某工厂生产一批产品，总成本C(x)（单位：万元）与产量x（单位：千件）的函数关系为C(x)=x^3-6x^2+15x+10，求产量为多少时，平均成本最低？最低平均成本是多少？

参考答案及解析

一、选择题

答案：C

解析：A选项\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}(x+\frac{1}{x})=\infty（不存在）；B选项\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x^2}=\lim\limits_{x\to0}(\frac{\sinx}{x}\cdot\frac{1}{x})=\infty（不存在）；C选项\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2（存在）；D选项\lim\limits_{x\to+\infty}\cosx振荡无极限，故选C。

答案：B

解析：连续的充要条件是\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=f(0)。\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=0+1=1，\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=0+b=b，f(0)=1，故b=1，a无限制，故选B。

答案：A

解析：复合函数求导，y=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot(1+\frac