第七讲 数学证明与趣谈.pptVIP

古希腊数学家欧几里得(Euclid)(公元前300年)，在《几何原本》中有了关于素数的命题：素数的个数有无穷个，即“若有n个素数，必有n+1个素数。证明：假设P是一个最大的素数。令n为所有小于或等于P的素数的乘积。则n+1很明显不能被任何小于或等于P的素数整除，因此只有两种可能：

(1)n+1是一个大于P的素数

(2)n+1的质因子都大于P

不论是(1)或(2)的情况都会得到大于P的素数。案例6第30页，共69页，星期日，2025年，2月5日棘刺母猴燕王供养了一位自称能在棘刺尖上雕母猴的卫国人，并想看他表演。谁料这客人只顾吃喝玩乐，还说若国王要看棘刺母猴，必须半年不进后宫，不喝酒，不吃肉，而且要待至雨停日出，似明似暗的一刹那才能看到。燕王拿他没法，只好一直供养他。后来有位铁匠对燕王说：我是打刀的，我知道刻东西需用小刀，而且刻的东西一定要比刀刃大方行。如果棘刺尖儿容纳不下刀刃，就不能在上面雕刻了。请国王瞧瞧客人的刻刀，不就知道他有没有说谎吗?于是国王问客人取刻刀看，客人藉辞回家取刀趁机溜走了！萧文强,数学证明,1990年07月第1版,第1页案例7第31页，共69页，星期日，2025年，2月5日对于反证法，英国近代数学家哈代说得好：欧几里得很喜欢采用归谬法(即反证法)。这是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法还要高明。象棋弈者不过牺牲一卒或顶多一子，数学家则索性把全局拱手让子对方！欧阳锋,数学的艺术,1997年版,第181页第32页，共69页，星期日，2025年，2月5日柏拉图在《理想园》的一段话，这是很可信的：你一定晓得，研究几何、算术或类似科学的人，以奇数、偶数、图形、三种角及这一类东西作为基础。这是他们的研究的出发点，他们不认为有需要对这些再加任何说明，这是开始的原理。如，公元前6世纪毕达哥拉斯学派关于图形数的一些定理，看来是凭形象观察去证明的。他们常把数描绘成小石于，按小石子能排列成的形状把数分类。例如，l、4、9、16，…叫做正方形数；1、3、6、10、…叫做三角形数萧文强,数学证明,江苏教育出版社,1990年07月第1版,第5页第33页，共69页，星期日，2025年，2月5日第34页，共69页，星期日，2025年，2月5日把这四个这样的三角形合成一矩形，再重新拼凑寻20块小片，得到另一矩形，两矩形的面积相等，一个是2ab，另一个是2r(a+b+c).故2ab=2r(a+b+c)即2r=2ab/(a+b+c).第35页，共69页，星期日，2025年，2月5日第36页，共69页，星期日，2025年，2月5日第37页，共69页，星期日，2025年，2月5日萧文强,《数学证明》,1990年07月第1版,第25页第38页，共69页，星期日，2025年，2月5日萧文强,《数学证明》,1990年07月第1版,第27—28页谁能保证证明没有错误呢？如汤普逊一菲特定理为例，有多少人能透彻读通那255页？所谓透彻，是指连文章里引用到的定理也全部核实。这番功夫是很费劲的，而且要十分仔细，任何细节都不能放过或者借别人之手去验证。即使真的有这样的人，怎能肯定任何错误都逃不过他的锐利目光呢?第39页，共69页，星期日，2025年，2月5日据说，波兰数学家史坦因豪斯的学生，根据希尔伯特《几何基础》公理的形式化，把勾股定理的证明几乎写了89页，这只不过是一条定理的证明而巳。最著名的是罗素与怀特海1910一1913年出版的三卷巨著《数学原理》，根据公理化方法，花了三百多页的篇幅才证明了1+1＝2。有人认为这是最不可读的杰作。军萧文强,《数学证明》,1990年07月第1版,第29页第40页，共69页，星期日，2025年，2月5日使用计算机检验全部可能情况得出结论的证明，也没有使我们增添理解。计算机证明令我不满意并非是它有没有核实该命题，正如用人手花几个月检验几百页的证明一样，而是通过证明并没有使我获得理解。固然，这引起证明还有另一项功用，就是导致发现，其实这也是理解了问题后的收获。

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