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大一高等数学（上）期末考试试题及参考答案

大一高等数学（上）期末考试试题

考试时间：120分钟满分：100分

一、选择题（每题3分，共15分）

下列极限存在的是（）

A.\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x}B.\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x^2}C.\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}D.\lim\limits_{x\to+\infty}\cosx

函数f(x)=\begin{cases}x^2+1,x\geq0\\ax+b,x0\end{cases}在x=0处可导，则a,b的值分别为（）

A.a=0,b=1B.a=1,b=0C.a=2,b=1D.a=0,b=0

曲线y=x^3-3x^2+2的拐点坐标为（）

A.(1,0)B.(0,2)C.(2,-2)D.(1,2)

下列积分值为0的是（）

A.\int_{-1}^1x^2dxB.\int_{-1}^1x\sinxdxC.\int_{-1}^1x^3dxD.\int_{-1}^1\cosxdx

微分方程y-2y+y=0的通解为（）

A.y=C_1e^x+C_2e^{-x}B.y=(C_1+C_2x)e^xC.y=C_1\cosx+C_2\sinxD.y=C_1e^{2x}+C_2e^{-x}

二、填空题（每题3分，共15分）

\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan2x}{x}=__________

设y=x\lnx，则y=__________

函数f(x)=x^3-3x+1在区间[0,2]上的最大值为__________

\int_0^{\pi}\sinxdx=__________

过点(0,1)且满足y=2x的曲线方程为__________

三、计算题（每题10分，共40分）

计算极限\lim\limits_{x\to1}\frac{x^3-1}{x^2-2x+1}

求函数y=(x^2+1)e^{2x}的导数y

计算定积分\int_0^1(x^2+\sqrt{x})dx

求解微分方程y+y=e^{-x}

四、应用题（每题15分，共30分）

求由曲线y=x^2与直线y=2x所围成的平面图形的面积。

某工厂生产某种产品，总成本C(x)（单位：万元）与产量x（单位：千件）的函数关系为C(x)=x^2+2x+100，总收益R(x)（单位：万元）与产量x的函数关系为R(x)=10x-0.5x^2，求利润最大时的产量及最大利润。

参考答案及解析

一、选择题（每题3分，共15分）

答案：C

解析：A选项\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}(x+\frac{1}{x})=\infty（不存在）；B选项\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x^2}=\lim\limits_{x\to0}(\frac{\sinx}{x}\cdot\frac{1}{x})=\infty（不存在）；C选项\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2（存在）；D选项\lim\limits_{x\to+\infty}\cosx振荡无极限。

答案：A

解析：可导必连续，先由连续性：\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=1，\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=b，故b=1；再由可导性：f_+(0)=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{x^2+1-1}{x}=0，f_-(0)=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{ax+1-1}{x}=a，故a=0。

答案：A

解析：y=3x^2-6x，y=6