2025高代集合考研真题及答案.docVIP

2025高代集合考研真题及答案

单项选择题（每题2分，共10题）

1.已知矩阵A的秩为r，则以下说法正确的是（）

A.A中至少有一个r阶子式不为0

B.A中所有r阶子式都不为0

C.A中任意r+1阶子式都为0

D.以上都不对

2.向量组线性相关的充要条件是（）

A.其中有一个零向量

B.其中有两个向量成比例

C.向量组的秩小于向量个数

D.以上都不是

3.若A是n阶可逆矩阵，则（）

A.|A|=0

B.A的行向量组线性相关

C.A的列向量组线性无关

D.A可经过初等行变换化为单位矩阵

4.二次型正定的充要条件是（）

A.矩阵的行列式大于0

B.矩阵的顺序主子式都大于0

C.矩阵的特征值都小于0

D.以上都不对

5.已知线性方程组Ax=b有解，则（）

A.r(A)=r(A,b)

B.r(A)r(A,b)

C.r(A)r(A,b)

D.无法确定

6.若矩阵A与B相似，则（）

A.A与B有相同的特征值

B.A与B有相同的行列式

C.A与B有相同的秩

D.以上都对

7.向量空间V的维数是（）

A.V中向量的个数

B.V中线性无关向量的最大个数

C.V中向量的维数

D.以上都不对

8.已知A是m×n矩阵，若r(A)=m，则（）

A.齐次线性方程组Ax=0只有零解

B.齐次线性方程组Ax=0有非零解

C.非齐次线性方程组Ax=b一定有解

D.非齐次线性方程组Ax=b一定无解

9.若矩阵A满足A2=A，则A的特征值只能是（）

A.0

B.1

C.0或1

D.以上都不对

10.已知向量α=(1,2,3)，β=(3,2,1)，则α·β=（）

A.10

B.12

C.14

D.16

答案：1.A2.C3.C4.B5.A6.D7.B8.C9.C10.C

多项选择题（每题2分，共10题）

1.以下哪些是线性空间的性质（）

A.加法交换律

B.加法结合律

C.数乘分配律

D.数乘结合律

2.矩阵的初等变换包括（）

A.交换两行

B.用一个非零数乘某一行

C.某一行加上另一行的k倍

D.以上都不对

3.已知向量组α1,α2,α3线性无关，则以下向量组线性无关的有（）

A.α1+α2,α2+α3,α3+α1

B.α1-α2,α2-α3,α3-α1

C.α1,α1+α2,α1+α2+α3

D.2α1-α2,α2-2α3,α3-2α1

4.若A是正交矩阵，则（）

A.AAT=E

B.A的列向量组是单位正交向量组

C.|A|=±1

D.A是对称矩阵

5.二次型f(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32+4x1x2的矩阵是（）

A.\(\begin{pmatrix}120\\220\\003\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}120\\230\\001\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}120\\240\\003\end{pmatrix}\)

D.以上都不对

6.已知线性方程组Ax=b的增广矩阵(A,b)经初等行变换化为\(\begin{pmatrix}1012\\01-11\\0000\end{pmatrix}\)，则该方程组的解为（）

A.有无穷多解

B.有唯一解

C.通解为x1=2-k,x2=1+k,x3=k

D.通解为x1=2+k,x2=1-k,x3=k

7.若A是n阶矩阵，且|A|=0，则（）

A.A不可逆

B.A的列向量组线性相关

C.A的行向量组线性相关

D.A=0

8.已知向量α=(1,0,0)，β=(0,1,0)，则以下向量与α,β都正交的是（）

A.(0,0,1)

B.(1,1,0)

C.(-1,1,0)

D.(0,1,1)

9.矩阵A的特征多项式为f(λ)=λ2-3λ+2，则A的特征值为（）

A.1

B.2

C.-1

D.-2

10.已知线性空间V中的向量α,β满足3α+2β=0，则（）

A.α,β线性相关

B.α=0且β=0

C.存在不全为0的数k1,k2，使得k1α+k2β=0

D.α,β线性无关

答案：1.ABCD2.ABC3.AC4.ABC5.A6.AC7.ABC8.A9.AB10.AC

判断题（每题2分，共10题）

1.若矩阵A与B等价，则A与B相似。（）

2.向量组α1,α2,α3线性相关，则α1可由α2,α3线性表示。