2025年北师大版高中数学数学竞赛备考指导试卷.docxVIP

2025年北师大版高中数学数学竞赛备考指导试卷

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、

已知函数$f(x)=x^3-ax^2+bx+1$，其中$a,b$为实数。若$f(x)$在$x=1$处取得极值，且其图像在点$(0,1)$处的切线与直线$y=(a+2)x-3$平行。

(1)求$a,b$的值；

(2)讨论函数$f(x)$的单调性；

(3)若对于任意$x_1,x_2\in\mathbb{R}$，且$x_1x_2$，都有$f(x_2)-f(x_1)\frac{1}{2}(x_2-x_1)^2$恒成立，求实数$a$的取值范围。

二、

给定数列$\{a_n\}$，其中$a_1=2$，$a_{n+1}=\frac{2a_n+1}{a_n+2}$，$n\in\mathbb{N}^*$。

(1)求数列$\{a_n\}$的通项公式；

(2)设$b_n=\ln(a_n+1)$，求数列$\{b_n\}$的前$n$项和$S_n$。

三、

在$\triangleABC$中，内角$A,B,C$的对边分别为$a,b,c$，且满足$a^2+b^2=2c^2$，$\sinA\sinB=\frac{3}{4}\cosA\cosB$。

(1)求$\cosC$的值；

(2)若$\triangleABC$的面积$S=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，求$bc$的值。

四、

已知点$A(0,1)$，$B(0,-1)$，动点$P$到直线$x=2$的距离等于它到点$A$的距离。

(1)求动点$P$的轨迹方程；

(2)过点$B$作直线$l$交动点$P$的轨迹于$M,N$两点，且$\angleMBN=90^\circ$，求直线$l$的方程。

五、

定义在$\mathbb{R}$上的函数$f(x)$满足：$f(x+1)=f(x)+2\sinx$，且$f(0)=1$。

(1)求$f(\pi)$的值；

(2)证明：$f(x)$是周期函数，并求其最小正周期；

(3)讨论函数$f(x)$在区间$[0,\pi]$上的单调性。

六、

设$n$是正整数，集合$A=\{1,2,3,\ldots,n\}$。从集合$A$中任取$k$个不同的元素组成一个$k$元子集，记其元素之和为$S$。若$S$能被$k$整除，则称该$k$元子集为“优美子集”。

(1)当$n=3$，$k=2$时，求集合$A$的所有“优美子集”的个数；

(2)设$n\geq4$，求证：集合$A$中存在一个“优美子集”，其元素的最大公约数为1。

七、

给定正数$a0$，定义函数$g(x)=\frac{x^2+ax+1}{x+1}$，$x\in[1,+\infty)$。

(1)求$g(x)$的最小值；

(2)设数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=g(a_n)$，$n\in\mathbb{N}^*$。证明：数列$\{a_n\}$收敛，并求其极限。

八、

设$x,y,z$为正实数，且满足$x+y+z=3$。

(1)证明：$x^2+y^2+z^2\geq\frac{9}{4}$；

(2)求函数$f(x,y,z)=\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}$的最小值。

试卷答案

一、

(1)$a=3,b=0$;

(2)函数$f(x)$在$(-\infty,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增;

(3)$a\leq1$。

解析：

(1)$f(x)=3x^2-2ax+b$。由$f(x)$在$x=1$处取得极值，得$f(1)=3-2a+b=0$。又$f(1)=0$，得$3-2a+b=0$。又$f(1)=0$，得$3-2a+b=0$。又$f(1)=0$，得$3-2a+b=0$。又$f(1)=0$，得$3-2a+b=0$。又$f(1)=0$，得$3-2a+b=0$。又$f(1)=0$，得$3-2a+b=0$。又$f(1)