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本科数学试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数f(x)=|x-1|在x=2处的导数是（）（2分）

A.1B.-1C.0D.不存在

【答案】A

【解析】f(x)=|x-1|在x=2处的导数为1。

2.极限lim(x→0)(sinx/x)的值是（）（2分）

A.0B.1C.∞D.不存在

【答案】B

【解析】利用极限公式lim(x→0)(sinx/x)=1。

3.方程x2-5x+6=0的解是（）（2分）

A.2,3B.-2,-3C.1,6D.-1,-6

【答案】A

【解析】因式分解得(x-2)(x-3)=0，解得x=2或x=3。

4.在三维空间中，向量(1,2,3)和(4,5,6)的夹角是（）（2分）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【解析】向量夹角cosθ=(1×4+2×5+3×6)/√(12+22+32)√(42+52+62)=√3/2，得θ=30°。

5.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的行列式det(A)是（）（2分）

A.-2B.2C.-5D.5

【答案】D

【解析】det(A)=1×4-2×3=5。

6.曲线y=x3在点(1,1)处的切线斜率是（）（2分）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】y=3x2，在x=1处斜率为3。

7.不等式|2x-1|3的解集是（）（2分）

A.(-1,2)B.(-2,1)C.(-1,4)D.(-2,4)

【答案】D

【解析】-32x-13，解得-1x4。

8.设函数f(x)在[a,b]上连续，则根据微积分基本定理，∫[a,b]f(x)dx的值等于（）（2分）

A.f(a)B.f(b)C.f(x)D.f(b)-f(a)

【答案】D

【解析】根据牛顿-莱布尼茨公式。

9.在复平面中，复数z=1+i的模|z|是（）（2分）

A.1B.√2C.√3D.2

【答案】B

【解析】|z|=√(12+12)=√2。

10.设A是4阶方阵，若det(A)=2，则det(2A)的值是（）（2分）

A.2B.4C.8D.16

【答案】C

【解析】det(kA)=k?det(A)，这里n=4，k=2。

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处可导的有（）（4分）

A.f(x)=x2B.f(x)=|x|C.f(x)=sinxD.f(x)=1/x

【答案】A、C

【解析】|x|在x=0处不可导，1/x在x=0处无定义。

2.在空间几何中，下列命题正确的有（）（4分）

A.过空间中任意三点有且只有一个平面B.两条平行线共面

C.三个不共线的点确定一个平面D.一个平面可以将空间分为两部分

【答案】B、C

【解析】A错误，三点共线时无数平面；D错误，一个平面将空间分为两部分。

3.设A、B是n阶可逆矩阵，则下列运算正确的有（）（4分）

A.AB的可逆矩阵是B?1A?1B.det(AB)=det(A)det(B)

C.(AB)?=B?A?D.(AB)?1=A?1B?1

【答案】A、B、C

【解析】D错误，(AB)?1=B?1A?1。

4.下列级数中，收敛的有（）（4分）

A.∑[n=1to∞](1/2^n)B.∑[n=1to∞](1/n)C.∑[n=1to∞](-1)^n/(2n+1)D.∑[n=1to∞](1/n2)

【答案】A、C、D

【解析】p-级数判别法，n级数发散。

5.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则根据罗尔定理，下列结论正确的有（）（4分）

A.存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0B.存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0

C.函数f(x)在(a,b)内单调D.函数f(x)在(a,b)内取得最大值

【答案】A

【解析】罗尔定理的结论是存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。

三、填空题（每题4分，共20分）

1.设函数f(x)=ax2+bx+c，若f(1)=3，f(-1)=5，且f(0)=2，则a=______，b=______，c=______。（4分）

【答案】1，-2，2

【解析】由f(1)=3得a+b+c=3，由f(-1)=5得a-b+c=5，由f(0)=2得b=2，解得a=1，c=2。

2.在空间直角坐标系中，点P(1,2,3)关于平面x+y+z=1的对称点Q的坐标是______。（4分）

【答案】(-1,-1,-1)

【解析】过P作平面垂线交平面于R，则Q在PR延长线上，且PQ=QR，解得Q(-1,-1,-1)。

3.设向量u=(1,2,3)，v=(4,5,6)，则向量u与v的向量积u×v的模长是______。（4分）

【答案】5√3

【解析】u×v=(-3,6,-3)，|u×v|=√((-3)2+62+(-3)2)=√54=3√6。

4.微分方程y-4y+4y=0的通解是______。（