2025年大学《数理基础科学-抽象代数》考试模拟试题及答案解析.docxVIP

2025年大学《数理基础科学-抽象代数》考试模拟试题及答案解析?

单位所属部门：________姓名：________考场号：________考生号：________

一、选择题

1.在群G中，对于任意元素a，其阶数等于a生成子群的阶数（）

A.正确

B.错误

答案：A

解析：根据群论基本定理，元素a生成子群的阶数就是a的阶数，因此该命题正确。

2.有限群G的每个元素的阶都是G的阶的因子（）

A.正确

B.错误

答案：A

解析：根据拉格朗日定理，有限群G中任何元素的阶都必定是群G的阶的因子。

3.交换群G中，若a和b是任意元素，则(ab)^n=a^nb^n对所有正整数n都成立（）

A.正确

B.错误

答案：A

解析：交换群中所有元素都满足交换律，因此幂运算满足分配律，该等式对所有正整数n都成立。

4.循环群必定是阿贝尔群（）

A.正确

B.错误

答案：A

解析：循环群中所有元素对乘法都满足交换律，因此循环群必定是阿贝尔群。

5.阶为p的群一定是循环群（）

A.正确

B.错误

答案：A

解析：根据有限群结构定理，阶为素数p的群一定是循环群。

6.任何群G都存在一个子群与G同构（）

A.正确

B.错误

答案：A

解析：群G的中心Z(G)总是与G同构，因此该命题正确。

7.两个同阶的循环群必定同构（）

A.正确

B.错误

答案：A

解析：所有n阶循环群都同构于整数加法群Z/nZ，因此同阶的循环群必定同构。

8.群G的每个子群都对应G的一个陪集（）

A.正确

B.错误

答案：A

解析：根据拉格朗日定理，每个子群都对应G的左陪集和右陪集的集合。

9.阿贝尔群的每个子群都是正规子群（）

A.正确

B.错误

答案：A

解析：在阿贝尔群中，任何子群都包含所有元素的积，因此必定是正规子群。

10.非阿贝尔群的每个子群都必定是正规子群（）

A.正确

B.错误

答案：B

解析：非阿贝尔群可能存在非正规子群，例如四元数群Q8中存在非正规子群。

11.在群G中，若a和b是任意元素，则(ab)^2=a^2b^2成立，则G必定是阿贝尔群（）

A.正确

B.错误

答案：A

解析：若(ab)^2=a^2b^2对所有a,b∈G成立，则abab=aabb，两边左消去a，右消去b得ab=ba，即G是阿贝尔群。

12.有限群G的阶为n，若n是奇数，则G中每个非单位元的阶都是奇数（）

A.正确

B.错误

答案：A

解析：设a是G中任意非单位元，若a的阶为偶数，则a^n=e，但n为奇数，矛盾。因此每个非单位元的阶都是奇数。

13.循环群的生成元是唯一的（）

A.正确

B.错误

答案：B

解析：循环群可能有多个生成元。例如，整数加法群Z/nZ中，k是n的任意一个小于n的正因子，kZ也是循环群，且k是它的生成元。

14.群G的子群H的阶是G的阶的因子，当且仅当H是G的正规子群（）

A.正确

B.错误

答案：B

解析：子群阶是群阶因子是拉格朗日定理的内容，但这并不意味着子群一定是正规子群。例如，四元数群Q8的中心Z(Q8)={e,-e}，阶为2，是正规子群；但子群V={e,i,j,k}阶为4，不是正规子群。

15.任何有限群G都有唯一的最小子阶正规子群（）

A.正确

B.错误

答案：A

解析：根据Sylow定理及其推论，任何有限群G都有唯一的最小阶正规子群，称为G的素数阶Sylow子群。

16.若群G是阿贝尔群，且G的阶为n，则G必定包含n阶子群（）

A.正确

B.错误

答案：A

解析：根据标准，阿贝尔群的阶为n时，它包含n阶子群。例如，整数加法群Z/nZ本身就是n阶子群。

17.群G的正规子群H的商群G/H是群（）

A.正确

B.错误

答案：A

解析：根据群论基本定理，群G的正规子群H的商集合G/H关于乘法运算构成一个群，称为商群。

18.两个群G和G的直积G×G也是一个群（）

A.正确

B.错误

答案：A

解析：群G和G的直积G×G关于元素对的无结合的乘法运算构成一个群，称为G和G的直积群。

19.每个群都包含至少一个正规子群（）

A.正确

B.错误

答案：A

解析：每个群都至少包含两个正规子群，即平凡子群{e}和群自身G。

20.有限群G的中心Z(