2025年考研数学一线性代数专项训练冲刺试卷（含答案）.docxVIP

2025年考研数学一线性代数专项训练冲刺试卷（含答案）

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、选择题（每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内。）

1.设向量组α?,α?,α?线性无关，向量β?=2α?+α?，β?=α?-2α?，β?=-α?+aα?+3α?，则实数a取值范围为（）。

(A)-2a2

(B)a≠-2

(C)a≠2

(D)a∈R

2.设A为n阶可逆矩阵，B为n阶不可逆矩阵，则下列矩阵中，一定不可逆的是（）。

(A)A+B

(B)AB

(C)BA

(D)A-B

3.设A为n阶矩阵，满足A2-A=0，则r(A)的取值范围是（）。

(A)0或1

(B)1或n

(C)0或n

(D)任意正整数

4.设A是三阶矩阵，其特征值为1,2,-1，则|A|=（）。

(A)-2

(B)-1

(C)1

(D)2

5.设A是n阶实对称矩阵，且A可逆，则下列说法正确的是（）。

(A)A的特征值都是负数

(B)A的特征值都是正数

(C)A的特征值有正有负

(D)A的特征值都是零

二、填空题（每小题4分，共20分。请将答案填在题中横线上。）

6.设A=[aij]是三阶矩阵，且|A|=2，则|3A|=。

7.设向量α=(1,2,-1)?，β=(2,-1,1)?，则(α,β)=。

8.设A=[12;34]，则A的特征值为。

9.设A是三阶矩阵，且r(A)=2，则r(2A+E)=。

10.设二次型f(x?,x?,x?)=x?2+2x?2+3x?2+2x?x?+2x?x?+2x?x?，则其正惯性指数为。

三、解答题（共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

11.（10分）设向量组α?=(1,1,1)?，α?=(1,2,3)?，α?=(1,3,t)?。

(1)当t为何值时，向量组α?,α?,α?线性相关？

(2)当t为何值时，向量组α?,α?,α?线性无关？请给出证明。

12.（10分）设线性方程组为：

x?+x?+x?=1

2x?+3x?+a?x?=3

x?+2x?+3x?=b

(1)当a,b为何值时，该线性方程组无解？

(2)当a,b为何值时，该线性方程组有无穷多解？请给出一般解。

13.（10分）设矩阵A=[10;11]，求A?（n为正整数）。

14.（10分）设矩阵A=[12;21]，求一个正交矩阵P，使得P?AP为对角矩阵。

15.（20分）设二次型f(x?,x?,x?)=x?2+x?2+x?2+2x?x?+2x?x?-2x?x?。

(1)用配方法将f化为标准形，并写出所用的可逆线性变换。

(2)判断f的正定性。

试卷答案

一、选择题

1.C

2.B

3.B

4.A

5.D

二、填空题

6.18

7.-3

8.-1,5

9.3

10.2

三、解答题

11.(1)t=5

(2)t≠5.证明：构造矩阵[α?α?α?]，对其进行初等行变换，若t≠5，则矩阵的秩为3，向量组线性无关。

12.(1)a=4,b≠2

(2)a=4,b=2.一般解：x?=1-2x?,x?=x?,x?为自由变量。

13.A?=[n0;n(n-1)n].证明：利用数学归纳法或矩阵乘法性质。

14.P=[1/√21/√20;-1/√21/√20;001].证明：首先求出A的特征值和特征向量，将特征向量单位化并正交化，构造正交矩阵P。

15.(1)f=y?2+y?2-y?2.变换为x=[1-11;01-1;110]y.

(2)负惯性指数为1，f非正定.