高等数学二重积分的概念与性质.pptVIP

高等数学二重积分的概念与性质*第1页，共38页，星期日，2025年，2月5日解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“分割,近似,求和,取极限”*第2页，共38页，星期日，2025年，2月5日1)“分割”用任意曲线网把D分为n个小区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“近似”---以平代曲在每个3)“求和”则中任取一点小曲顶柱体*第3页，共38页，星期日，2025年，2月5日4)“取极限”令*第4页，共38页，星期日，2025年，2月5日用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并任取一小区域，曲顶柱体的体积*第5页，共38页，星期日，2025年，2月5日*第6页，共38页，星期日，2025年，2月5日二、二重积分的定义及可积性定义:将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.记作是定义在有界区域D上的有界函数,*第7页，共38页，星期日，2025年，2月5日积分和积分域被积函数积分表达式面积元素*第8页，共38页，星期日，2025年，2月5日对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值(3)积分值和积分和的关系当被积函数既有小于零又有大于零时，二重积分是各部分柱体体积的代数和．*第9页，共38页，星期日，2025年，2月5日引例中曲顶柱体体积:如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作D*第10页，共38页，星期日，2025年，2月5日二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D上除去有*第11页，共38页，星期日，2025年，2月5日例如,在D:上二重积分存在;在D上二重积分不存在.*第12页，共38页，星期日，2025年，2月5日三、二重积分的性质(k为常数)（二重积分与定积分有类似的性质）对区域具有可加性*第13页，共38页，星期日，2025年，2月5日?为D的面积,则特别,由于则5.若在D上*第14页，共38页，星期日，2025年，2月5日６.（二重积分估值不等式）*第15页，共38页，星期日，2025年，2月5日7.(二重积分的中值定理)证:由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上?为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此*第16页，共38页，星期日，2025年，2月5日解*第17页，共38页，星期日，2025年，2月5日例2.估计的值,其中D为解:被积函数D的面积的最大值的最小值*第18页，共38页，星期日，2025年，2月5日例3.比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上*第19页，共38页，星期日，2025年，2月5日解D夹在两直线间*第20页，共38页，星期日，2025年，2月5日例5.估计下列积分之值解:D的面积为由于积分性质5即:1.96?I?2D*第21页，共38页，星期日，2025年，2月5日8.设函数D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍在D上在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.*第22页，共38页，星期日，2025年，2月5日在第一象限部分,则有*第23页，共38页，星期日，2025年，2月5日四、特殊区域下曲顶柱体体积的计算设曲顶柱体的底可表示为:［X－型］积分区域其中函数、在区间上连续.*第24页，共38页，星期日，2025年，2月5日应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法*第25页，共38页，星期日，2025年，2月5日任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的*