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线性代数题库及答案大一

一、单项选择题（每题2分，共10题）

1.设矩阵\(A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\)，则\(A\)的行列式\(\vertA\vert\)的值为（）

A.-2B.2C.-10D.10

答案：A

解析：根据二阶行列式计算法则\(\vertA\vert=1\times4-2\times3=-2\)。

2.已知向量\(\alpha=(1,2,3)\)，\(\beta=(2,3,4)\)，则\(\alpha\cdot\beta\)等于（）

A.20B.22C.24D.26

答案：B

解析：向量点积\(\alpha\cdot\beta=1\times2+2\times3+3\times4=2+6+12=22\)。

3.若\(n\)阶方阵\(A\)满足\(A^2=A\)，则\(A\)的特征值可能是（）

A.0和1B.-1和0C.-1和1D.0和2

答案：A

解析：设\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(x\)是对应的特征向量，则\(A^2x=A(Ax)=\lambdaAx=\lambda^2x\)，又\(A^2=A\)，即\(\lambda^2x=\lambdax\)，\((\lambda^2-\lambda)x=0\)，因为\(x\neq0\)，所以\(\lambda^2-\lambda=0\)，解得\(\lambda=0\)或\(\lambda=1\)。

4.设\(A\)为\(3\)阶方阵，且\(\vertA\vert=2\)，则\(\vert2A^{-1}\vert\)等于（）

A.1B.2C.4D.8

答案：A

解析：\(\vert2A^{-1}\vert=2^3\vertA^{-1}\vert=8\times\frac{1}{\vertA\vert}=8\times\frac{1}{2}=4\times\frac{1}{2}=1\)。

5.向量组\(\alpha_1=(1,0,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,0)\)，\(\alpha_3=(0,0,1)\)的秩为（）

A.0B.1C.2D.3

答案：D

解析：这是三维单位向量组，线性无关，所以秩为3。

6.设矩阵\(A=\begin{pmatrix}100\\020\\003\end{pmatrix}\)，则\(A\)的伴随矩阵\(A^\)的主对角线元素依次为（）

A.6,3,2B.6,2,3C.3,2,6D.2,3,6

答案：A

解析：\(A\)的行列式\(\vertA\vert=6\)，\(A_{11}=6\)，\(A_{22}=3\)，\(A_{33}=2\)，伴随矩阵主对角线元素是原矩阵对应元素的代数余子式，所以依次为6,3,2。

7.若线性方程组\(Ax=0\)只有零解，则\(A\)的秩\(r(A)\)与未知数个数\(n\)的关系是（）

A.\(r(A)\gtn\)B.\(r(A)=n\)C.\(r(A)\ltn\)D.不确定

答案：B

解析：线性方程组\(Ax=0\)只有零解的充要条件是系数矩阵\(A\)的秩等于未知数个数\(n\)。

8.设\(A\)是正交矩阵，则\(A^TA\)等于（）

A.\(A\)B.\(A^{-1}\)C.\(E\)D.\(0\)

答案：C

解析：正交矩阵的定义就是\(A^TA=E\)。

9.已知矩阵\(A\)的特征值为\(1,2,3\)，则\(A+E\)的特征值为（）

A.2,3,4B.1,2,3C.0,1,2D.-1,0,1

答案：A

解析：设\(\lambda\)是\(A\)的特征值，则\(A+E\)的特征值为\(\lambda+1\)，所以\(A+E\)的特征值为2,3,4。

10.向量组\(\alpha_1=(1,1,1)\)，\(\alpha_2=(1,2,3)\)，\(\alpha_3=(1,3,t)\)线性相关，则\(t\)的值为（）

A.4B.5C.6D.7

答案：B

解析：由向量组线性相关可得对应的行列式为0，即\(\begin{vmatrix}111\\123\\13t\end{vmatrix}=0\)，计算得\(2t-3-3-t+9-2=0\)，解得\