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复变函数试题库及答案

单项选择题（每题2分，共10题）

1.复数\(z=3-4i\)的模\(\vertz\vert\)是（）

A.3B.4C.5D.7

答案：C

解析：对于复数\(z=a+bi\)，其模\(\vertz\vert=\sqrt{a^2+b^2}\)，所以\(\vertz\vert=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5\)。

2.函数\(f(z)=\frac{1}{z-1}\)的奇点是（）

A.\(z=0\)B.\(z=1\)C.\(z=-1\)D.无奇点

答案：B

解析：使函数\(f(z)\)无定义的点就是奇点，当\(z=1\)时，\(f(z)=\frac{1}{z-1}\)无定义，所以奇点是\(z=1\)。

3.积分\(\oint_{|z|=1}\frac{1}{z}dz\)的值为（）

A.\(2\pii\)B.\(0\)C.\(\pii\)D.\(-2\pii\)

答案：A

解析：根据柯西积分公式，\(\oint_{|z-z_0|=r}\frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\piif(z_0)\)，这里\(z_0=0\)，\(f(z)=1\)，所以\(\oint_{|z|=1}\frac{1}{z}dz=2\pii\)。

4.幂级数\(\sum_{n=0}^{\infty}nz^n\)的收敛半径\(R\)为（）

A.1B.0C.\(\infty\)D.2

答案：A

解析：对于幂级数\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n\)，收敛半径\(R=\lim\limits_{n\to\infty}\vert\frac{a_n}{a_{n+1}}\vert\)，这里\(a_n=n\)，\(a_{n+1}=n+1\)，则\(R=\lim\limits_{n\to\infty}\vert\frac{n}{n+1}\vert=1\)。

5.\(e^{i\pi}\)的值是（）

A.1B.-1C.\(i\)D.\(-i\)

答案：B

解析：根据欧拉公式\(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)，当\(\theta=\pi\)时，\(e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1\)。

6.函数\(f(z)=z^2\)在\(z=1+i\)处的导数\(f^\prime(1+i)\)是（）

A.\(2+2i\)B.\(2-2i\)C.\(1+i\)D.\(1-i\)

答案：A

解析：对\(f(z)=z^2\)求导得\(f^\prime(z)=2z\)，将\(z=1+i\)代入得\(f^\prime(1+i)=2(1+i)=2+2i\)。

7.若\(z=x+iy\)，则\(\sinz\)的实部是（）

A.\(\sinx\coshy\)B.\(\cosx\sinhy\)C.\(\sinx\sinhy\)D.\(\cosx\coshy\)

答案：A

解析：\(\sinz=\sin(x+iy)=\sinx\cos(iy)+\cosx\sin(iy)=\sinx\coshy+i\cosx\sinhy\)，实部是\(\sinx\coshy\)。

8.设\(f(z)\)在区域\(D\)内解析，\(C\)为\(D\)内的一条正向简单闭曲线，则\(\oint_{C}f^\prime(z)dz\)等于（）

A.\(f(z)\)在\(C\)内的积分值B.\(0\)C.\(2\piif(z)\)D.\(f(z)\)在\(C\)上的积分值

答案：B

解析：由柯西-古萨定理，解析函数沿闭曲线的积分值为\(0\)，所以\(\oint_{C}f^\prime(z)dz=0\)。

9.复数\(z=\frac{1+i}{1-i}\)化简后为（）

A.\(i\)B.\(-i\)C.\(1\)D.\(-1\)

答案：A

解析：分子分母同乘\(1+i\)，\(z=\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+2i+i^2}{2}=\frac{2i}{2}=i\)。

10.函数\(f(z)=\frac{z+1}{z^2-1}\)的可去奇点是