高中数学定积分在物理中的应用.pptVIP

课堂讲练互动课前探究学习高中数学定积分在物理中的应用第1页，共21页，星期日，2025年，2月5日【课标要求】1．通过具体实例了解定积分在物理中的应用．2．会求变速直线运动的路程、位移和变力作功问题．【核心扫描】利用定积分求变速直线运动的路程、位移和变力所作的功．(重点)第2页，共21页，星期日，2025年，2月5日自学导引定积分在物理中的应用变速直线运动作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即变力作功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(ab)，那么变力F(x)所作的功为第3页，共21页，星期日，2025年，2月5日想一想：利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子吗？ 提示路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念，(1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用 求解； (2)当v(t)0时，求某一时间段内的位移用求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－.第4页，共21页，星期日，2025年，2月5日名师点睛1．在变速直线运动中求路程、位移 路程是位移的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b 所经过的路程S和位移S′分别为： (1)若V(t)≥0，则S＝V(t)dt，S′＝V(t)dt. (2)若V(t)≤0，则S＝－V(t)dt，S′＝V(t)dt. (3)若在区间[a，c]上，V(t)≥0，在区间[c，b]上V(t)0， 则s＝V(t)dt－V(t)dt；S′＝V(t)dt.第5页，共21页，星期日，2025年，2月5日2．定积分在物理中的应用 (1)做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝v(t)dt. (2)一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所作的功为W＝Fs；而若是变力所做的功W，等于其力函数F(x)在位移区间[a，b]上的定积分，即W＝F(x)dx.第6页，共21页，星期日，2025年，2月5日说明：做变速直线运动的物体所经过的路程s在数值上其实就是时间一速度坐标系中对应曲边梯形的面积，而变力做功实际上也是位移—力坐标系中对应曲边梯形的面积．在变力做功时，不限定F(x)为非负数，这样求出来的定积分可能为负数．当定积分为负数时，说明变力做负功，即克服变力做了功．第7页，共21页，星期日，2025年，2月5日题型一求变速直线运动的路程、位移【例1】有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求 (1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移； (2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值． [思路探索]第8页，共21页，星期日，2025年，2月5日解(1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，当t4时，P点向x轴负方向运动．故t＝6时，点P离开原点的路程当t＝6时，点P的位移为第9页，共21页，星期日，2025年，2月5日(2)依题意(8t－2t2)dt＝0，第10页，共21页，星期日，2025年，2月5日(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．第11页，共21页，星期日，2025年，2月5日【变式1】变速直线运动的物体的速度为v(t)＝1－t2，初始位置为x0＝1，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置． 解当0≤t≤1时，v(t)≥0，当1≤t≤2时，v(t)0. 所以前2秒钟内所走的路程第12页，共21页，星期日，2025年，2月5日第13页，共21页，星期日，2025年，2月5日题型二求变力所作的功【例2】在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S)