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2025绵阳市绵阳中学自主招生考试数学考试试题与参考答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.已知函数f(x)=x^22x+3，若f(a)=1，求a的值。

A.1

B.1

C.2

D.2

答案：B

解析：将f(a)=1代入函数解析式，得a^22a+3=1。移项得a^22a+2=0，解得a=1。

2.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=12，S6=27，求等差数列的公差d。

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：由等差数列的性质，S3=3a1+3d/2=12，S6=6a1+6d/2=27。解得d=2。

3.已知三角形ABC中，角A、角B、角C的对边分别为a、b、c，且a^2+b^2=2c^2，则三角形ABC的形状是：

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.锐角三角形

D.钝角三角形

答案：B

解析：由题意得a^2+b^2=2c^2，即c^2=(a^2+b^2)/2。由勾股定理可知，a^2+b^2=c^2，故三角形ABC为直角三角形。

4.若函数g(x)=x^33x+1在x=1处的切线斜率为k，求k的值。

A.0

B.3

C.3

D.6

答案：C

解析：求导得g(x)=3x^23。在x=1处，g(1)=31^23=0。故切线斜率k=g(1)=3。

5.已知集合A={x|x^24x+30}，求集合A中满足条件的整数元素。

A.{1,2}

B.{1,2,3}

C.{1,3}

D.{2,3}

答案：C

解析：解不等式x^24x+30，得1x3。故集合A中满足条件的整数元素为{1,3}。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.若函数h(x)=x^22ax+a^2+1在x=1处取得最小值，求a的值。

答案：1

解析：h(x)=(xa)^2+1。当x=a时，h(x)取得最小值。因为x=1，所以a=1。

7.已知等差数列{an}的通项公式为an=3n2，求该数列的前10项和。

答案：165

解析：S10=n/2(a1+a10)=10/2(1+28)=165。

8.若函数f(x)=x^33x+1在x=2处的切线方程为y=mx+b，求m和b的值。

答案：m=9，b=5

解析：f(x)=3x^23。在x=2处，f(2)=9，所以m=9。f(2)=2^332+1=5，所以b=5。

9.已知函数g(x)=x^24x+3，求g(x)的单调增区间。

答案：(2,+∞)

解析：g(x)=2x4。当g(x)0时，函数单调增。解得x2。

10.已知三角形ABC的面积为6，且a=3，b=4，求角A的正弦值。

答案：√3/2

解析：由面积公式S=1/2absinA，得sinA=2S/ab=26/(34)=√3/2。

三、解答题（每题10分，共30分）

11.已知函数f(x)=x^2+bx+c，且f(1)=3，f(2)=8。求b和c的值，并求函数f(x)的顶点坐标。

解：由f(1)=3，f(2)=8，得方程组：

1^2+b1+c=3

2^2+b2+c=8

解得b=3，c=1。故f(x)=x^2+3x1。顶点坐标为(3/2,5/4)。

12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=12，S6=27。求等差数列的首项a1和公差d。

解：由S3=3a1+3d/2=12，S6=6a1+6d/2=27，得方程组：

3a1+3d/2=12

6a1+6d/2=27

解得a1=3，d=2。故等差数列的首项a1为3，公差d为2。

13.在直角坐标系xOy中，已知点A(2,3)，B(4,5)。求线段AB的中点坐标，以及线段AB的长度。

解：线段AB的中点坐标为((2+4)/2,(3+5)/2)=(3,4)。线段AB的长度为√((42)^2+(53)^2)=√8。