第四章态和力学量的表象.pptVIP

第1页，共39页，星期日，2025年，2月5日一、坐标表象的波函数——§4.1态的表象是位置几率第2页，共39页，星期日，2025年，2月5日二、动量表象的波函数——和可以互求，它们包含同样多的信息。我们称这样做是变换到了动量表象,可以称为动量表象中的“波函数”第3页，共39页，星期日，2025年，2月5日基谐振子基点：第4页，共39页，星期日，2025年，2月5日三、表象的波函数（为任意力学量）第5页，共39页，星期日，2025年，2月5日§4.2算符的矩阵表示在坐标表象中：在表象中：于是有：可见必是一矩阵。第6页，共39页，星期日，2025年，2月5日一、算符的矩阵表示以um*乘以上式并积分，得第7页，共39页，星期日，2025年，2月5日写成矩阵形式如下第8页，共39页，星期日，2025年，2月5日1.以二阶矩阵为例：2.厄密共轭矩阵和厄密矩阵厄密共轭矩阵是厄密共轭算符的对应物。对任意算符A得到下述矩阵元之间的关系二、厄密算符的矩阵第9页，共39页，星期日，2025年，2月5日于是我们知道，一个矩阵取其厄密共轭，相当于矩阵转置后再取复共轭。即当一个矩阵等于它的厄密共轭矩阵，即满足条件时，称厄密自共轭矩阵，简称厄密矩阵。由(4.2-6)式和(4.2-8)式可知，厄密矩阵的矩阵元满足下述关系这一式子意味着，厄密矩阵的对角元（）为实数；而其余的各个非对角元素，对于主对角线是复数共厄反射对称的。量子力学中要用厄密算符来描写力学量，所以同它们对应的矩阵必是厄密矩阵。由于厄密矩阵的对角元是实数，由此也可得到厄密算符的本征值必定是实数的结论。第10页，共39页，星期日，2025年，2月5日厄密算符的矩阵是厄密矩阵：三、算符在自身表象中为对角阵在其自身表象中的矩阵元因此我们常说表象为以为对角线的表象。在，为对角的表象即以，的共同本征函数为基矢的表象。第11页，共39页，星期日，2025年，2月5日四、连续谱第12页，共39页，星期日，2025年，2月5日在连续谱情况下，所有矩阵都是象征性的。第13页，共39页，星期日，2025年，2月5日§4.3量子力学公式的矩阵表示一、平均值公式（不显含t）第14页，共39页，星期日，2025年，2月5日二、薛定谔方程左边乘以并积分：第15页，共39页，星期日，2025年，2月5日三、本征方程1.本征方程2.求解本征值和本征矢将(4.3-9)式中等号右边部分移至左边，得：第16页，共39页，星期日，2025年，2月5日方程（4.3-10）是一个线形齐次代数方程组：这个方程组有非零解的条件是系数行列式等于零，即：方程（4.3-11）称为久期方程。求解久期方程可得到一组λ值它们就是F的本征值。把求得的λi分别代入（4.3-10）式中就可以求得与这λi对应的本征矢其中i=1,2,…n,…。第17页，共39页，星期日，2025年，2月5日四、例题设已知在和的共同表象中，算符和的矩阵分别为求它们的本征值和归一化的本征函数，最后将和对角化。解：（1）求的本征值和本征函数。设在和的共同表象中，的本征函数为，为所对应的本征值。本征方程为即第18页，共39页，星期日，2025年，2月5日齐次方程有非零解的条件是系数行列式等于零，即第19页，共39页，星期日，2025年，2月5日展开后整理得即即的本征值为利用归一化条件，确定常数a1.因此，对应于m=0的本征函数是第20页，共39页，星期日，2025年，2月5日利用归一化条件求a3.即因此，对应于m=0的本征函数为第21页，共39页，星期日，2025年，2月5日利用归一化条件求a2,即因此对应于m=-1的本征函数为第22页，共39页，星期日，2025年，2月5日（2）求的本征值和本征函数设的本征函数为，对应于