勾股定理在求值问题中三种应用方法.pdfVIP

借助勾股定理求最值的问题包括圆柱中的勾股定理，

此时要采用“化曲为直”的方式；长方体(正方体)中

的勾股定理，此时要采用“化折为直”的方式；利用

对称求最值问题，此时要采用“两点之间线段最短”

的原理解决.

典例精讲

类型一：化曲为直

我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上高

二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛

藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱

体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3

尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达

点B处．则问题中葛藤的最短长度是尺．

典例精讲

典例精讲

类型二：化折为直

如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是

6的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B

点，那么它所行的最短路线的长是

.

典例精讲

解：长方体中，两个顶点展开在同一平面有两种情

况，如图所示：连接AB，求出AB的长就可以，

（1）由题意知AC=4，BC=6+4=10，

由勾股定理得：AB=

（2）由题意知：AC=4+4=8，BC=6

由勾股定理得：AB=10.

∴最短是10．故为：10．

典例精讲

类型三：利用对称求最值(两点之间线段最短)

如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为

BC的中点，点P为BD上一点，则PE+PC的最小值为（）

典例精讲

解：∵△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，点E为BC的中点，

∴BD⊥AC，EC=3.

连接AE，与BD交于点P′，由题意知，点A,C关于直线BD对称，

∴AP′=CP′，∴P′E+P′C=P′E+AP′=AE,

∴线段AE的长即为PE+PC的最小值，

∵点E是边BC的中点，∴AE⊥BC

课堂小结

类型一：化曲为直

类型二：化折为借助勾股定理求最值

直

类型三：利用对

称求最值(两点之

间线段最短)