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2025绵阳市初升高自主招生考试数学试题(附答案)

一、选择题（每题5分，共30分）

1.若\(a^2+b^2=1\)，则\(a+b\)的取值范围是（）

A.\([1,1]\)B.\([0,1]\)C.\((\infty,1]\cup[1,+\infty)\)D.\([0,\sqrt{2}]\)

答案：A

解析：根据柯西不等式，\(a^2+b^2\geq2ab\)，所以\(1\geq2ab\)，即\(ab\leq\frac{1}{2}\)。根据均值不等式，\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，所以\(a+b\geq2\sqrt{ab}\leq\sqrt{2}\)。同时，\(a^2+b^2=(a+b)^22ab\geq(a+b)^21\)，解得\(1\leqa+b\leq1\)。所以\(a+b\)的取值范围是\([1,1]\)。

2.若\(x^23x+20\)，则\(x\)的取值范围是（）

A.\((1,2)\)B.\((2,3)\)C.\((1,3)\)D.\((0,2)\)

答案：A

解析：解不等式\(x^23x+20\)，得\((x1)(x2)0\)，所以\(x\)的取值范围是\(1x2\)，即\((1,2)\)。

3.已知等差数列的前5项和为15，前10项和为45，则该数列的首项与公差分别是（）

A.\(a_1=1,d=1\)B.\(a_1=3,d=1\)C.\(a_1=1,d=2\)D.\(a_1=3,d=2\)

答案：B

解析：设等差数列的首项为\(a_1\)，公差为\(d\)，则\(S_5=\frac{5}{2}(2a_1+4d)=15\)，\(S_{10}=\frac{10}{2}(2a_1+9d)=45\)。解得\(a_1=3\)，\(d=1\)。

4.若\(x,y\)是方程\(2x^25x+2=0\)的两个根，则\(x^2+y^2\)的值为（）

A.5B.6C.7D.8

答案：C

解析：根据韦达定理，\(x+y=\frac{5}{2}\)，\(xy=1\)。所以\(x^2+y^2=(x+y)^22xy=\left(\frac{5}{2}\right)^22\cdot1=\frac{25}{4}2=\frac{17}{4}=7\)。

5.在三角形\(ABC\)中，\(a=3\),\(b=4\),\(A=30^\circ\)，则\(c\)的值为（）

A.5B.\(\sqrt{7}\)C.\(\sqrt{13}\)D.\(\sqrt{17}\)

答案：C

解析：根据余弦定理，\(c^2=a^2+b^22ab\cosA=3^2+4^22\cdot3\cdot4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=9+1612\sqrt{3}=2512\sqrt{3}\)。因为\(c0\)，所以\(c=\sqrt{2512\sqrt{3}}=\sqrt{13}\)。

6.若\(f(x)=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）在区间\((0,+\infty)\)上单调递增，则下列结论正确的是（）

A.\(a0\)，\(b0\)，\(c0\)B.\(a0\)，\(b\geq0\)，\(c\geq0\)C.\(a0\)，\(b\leq0\)，\(c\leq0\)D.\(a0\)，\(b\geq0\)，\(c\leq0\)

答案：B

解析：因为\(f(x)\)在区间\((0,+\infty)\)上单调递增，所以\(a0\)。对称轴为\(x=\frac{b}{2a}\)，因为\(x0\)，所以\(\frac{b}{2a}\leq0\)，即\(b\geq0\)。对于\(c\)，无法确定其正负，所以\(b\geq0\)，\(c\geq0\)。

二、填空题（每题5分，共20分）

1.已知等比数列的前3项和为14，前6项和为70，则该数列的首项与公比分别是_________。

答案：\(a_1=2\)，\(q=2\)

解析：设等比数列的首项