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中国精算师考试试题及答案(四)

一、单项选择题（每题2分，共30分）

1.已知随机变量\(X\)服从参数为\(\lambda=2\)的泊松分布，则\(P(X=2)\)的值为（）

A.\(\frac{2}{e^{2}}\)

B.\(\frac{2}{e}\)

C.\(\frac{2e}{e^{2}}\)

D.\(\frac{2^{2}e^{2}}{2!}\)

答案：D

解析：若随机变量\(X\)服从参数为\(\lambda\)的泊松分布，其概率质量函数为\(P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{\lambda}}{k!}\)，这里\(\lambda=2\)，\(k=2\)，所以\(P(X=2)=\frac{2^{2}e^{2}}{2!}\)。

2.设\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)的样本，\(\overline{X}\)是样本均值，\(S^{2}\)是样本方差，则\(\frac{(n1)S^{2}}{\sigma^{2}}\)服从（）

A.\(N(0,1)\)

B.\(\chi^{2}(n1)\)

C.\(t(n1)\)

D.\(F(n1,n)\)

答案：B

解析：根据抽样分布的性质，设\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)的样本，则\(\frac{(n1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n1)\)。

3.已知某保险公司的理赔次数\(N\)服从参数为\(\lambda\)的泊松分布，且\(E(N)=5\)，则\(Var(N)\)的值为（）

A.2

B.5

C.25

D.\(\sqrt{5}\)

答案：B

解析：对于泊松分布\(N\simP(\lambda)\)，其期望\(E(N)=\lambda\)，方差\(Var(N)=\lambda\)。已知\(E(N)=5\)，所以\(\lambda=5\)，则\(Var(N)=5\)。

4.设\(X\)和\(Y\)是两个随机变量，已知\(Cov(X,Y)=0.5\)，\(D(X)=1\)，\(D(Y)=4\)，则\(\rho_{XY}\)（\(X\)与\(Y\)的相关系数）为（）

A.0.1

B.0.25

C.0.5

D.1

答案：B

解析：相关系数\(\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}\)，将\(Cov(X,Y)=0.5\)，\(D(X)=1\)，\(D(Y)=4\)代入可得\(\rho_{XY}=\frac{0.5}{\sqrt{1\times4}}=\frac{0.5}{2}=0.25\)。

5.若保险标的损失额\(X\)服从参数为\(\alpha\)和\(\beta\)的伽马分布\(Gamma(\alpha,\beta)\)，其概率密度函数为\(f(x)=\frac{\beta^{\alpha}x^{\alpha1}e^{\betax}}{\Gamma(\alpha)},x0\)，则\(E(X)\)为（）

A.\(\frac{\alpha}{\beta}\)

B.\(\frac{\beta}{\alpha}\)

C.\(\alpha\beta\)

D.\(\frac{1}{\alpha\beta}\)

答案：A

解析：对于伽马分布\(X\simGamma(\alpha,\beta)\)，其期望\(E(X)=\frac{\alpha}{\beta}\)。

6.在一个保险组合中，有\(n=100\)个独立同分布的风险单位，每个风险单位的索赔额\(X_i\)服从均值为\(200\)，方差为\(100\)的分布。根据中心极限定理，该保险组合的总索赔额\(S=\sum_{i=1}^{100}X_i\)近似服从（）

A.\(N(20000,10000)\)

B.\(N(200,100)\)

C.\(N(20000,100)\)

D.\(N(200,10000)\)

答案：A

解析：设\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)独立同分布，\(E(X_i)=\mu\)，\(Var(X_i)=\sigma^{2}\)，则\(S=\sum_{i=1}^{n}X_i\)近似服从\(N(n\mu,n\sigma^{2})\)。这里\(n=100\)，\(\mu=200\)，\(\sigma^{2}=100\)，所以\(S\)近似服从\(N(100\times200,100\times10