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知到线性代数题库及答案

单项选择题（每题2分，共10题）

1.已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\)，则\(A\)的行列式\(\vertA\vert\)的值为（）

A.-2B.2C.-10D.10

答案：A

解析：\(\vertA\vert=1\times4-2\times3=-2\)。

2.向量组\(\alpha_1=(1,0,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,0)\)，\(\alpha_3=(0,0,1)\)的秩为（）

A.0B.1C.2D.3

答案：D

解析：该向量组线性无关，所以秩为3。

3.若\(A\)是可逆矩阵，则\((A^{-1})^{-1}\)等于（）

A.\(A\)B.\(A^2\)C.\(A^{-2}\)D.\(A^T\)

答案：A

解析：可逆矩阵的逆矩阵的逆等于其本身。

4.线性方程组\(\begin{cases}x+y=1\\x-y=1\end{cases}\)的解为（）

A.\(x=1,y=0\)B.\(x=0,y=1\)C.无解D.有无穷多解

答案：A

解析：两式相加得\(2x=2\)即\(x=1\)，代入得\(y=0\)。

5.矩阵\(A\)的特征值为\(\lambda\)，则\(A^2\)的特征值为（）

A.\(\lambda\)B.\(\lambda^2\)C.\(2\lambda\)D.\(\frac{\lambda}{2}\)

答案：B

解析：设\(Ax=\lambdax\)，则\(A^2x=A(Ax)=A(\lambdax)=\lambdaAx=\lambda^2x\)。

6.已知\(A\)是\(3\times3\)矩阵，\(\vertA\vert=2\)，则\(\vert2A\vert\)的值为（）

A.4B.8C.16D.32

答案：C

解析：\(\vert2A\vert=2^3\vertA\vert=8\times2=16\)。

7.向量\(\alpha=(1,2,3)\)与\(\beta=(2,4,6)\)的关系是（）

A.线性无关B.线性相关C.正交D.相等

答案：B

解析：\(\beta=2\alpha\)，所以线性相关。

8.二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\)的矩阵为（）

A.\(\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}12\\21\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}21\\12\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\)

答案：A

解析：二次型矩阵中\(a_{ij}=\frac{1}{2}(b_{ij}+b_{ji})\)，这里\(b_{11}=1,b_{12}=2,b_{21}=2,b_{22}=1\)，可得矩阵为\(\begin{pmatrix}11\\11\end{pmatrix}\)。

9.若\(A\)是正交矩阵，则\(A^TA\)等于（）

A.\(A\)B.\(A^T\)C.\(E\)D.\(0\)

答案：C

解析：正交矩阵满足\(A^TA=E\)。

10.设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(r(A)=n-1\)，则\(Ax=0\)的基础解系所含向量个数为（）

A.0B.1C.\(n-1\)D.\(n\)

答案：B

解析：基础解系所含向量个数为\(n-r(A)=n-(n-1)=1\)。

多项选择题（每题2分，共10题）

1.以下哪些是线性代数的研究内容（）

A.矩阵B.向量C.线性方程组D.行列式

答案：ABCD

解析：线性代数主要研究矩阵、向量、线性方程组、行列式等内容。

2.关于矩阵的运算，下列说法正确的是（）

A.矩阵加法满足交换律B.矩阵乘法满足交换律C.矩阵乘法满足结合律D.矩阵转置满足\((AB)^T=B^TA^T\)

答案：ACD

解析：矩阵加法满足交换律，乘法满足结合律，转置满足\((AB)^T=B^TA^T\)，但矩阵乘法一般不满足交换律。