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高考文科数列真题详解合集

数列作为高考数学的核心内容之一，在文科数学试卷中占据着举足轻重的地位。它不仅考查学生对基础知识的掌握程度，更注重检验学生的逻辑推理能力、运算求解能力以及综合应用能力。本文精选近年高考文科数列真题，通过详尽的思路分析与规范的解答过程，帮助同学们洞悉命题规律，掌握解题技巧，切实提升数列模块的备考效率。

一、核心知识梳理与考情分析

高考文科数列命题，万变不离其宗。其考查重点主要围绕等差数列与等比数列展开，具体包括：数列的概念及表示方法（如通项公式、递推关系）；等差数列与等比数列的定义、通项公式、前n项和公式；数列求和的常用方法（如公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法）；以及数列在实际问题中的简单应用。从题型上看，选择、填空、解答题均有涉及，其中解答题多以中档题为主，常与函数、不等式等知识结合，考查综合运用能力。

二、等差数列与等比数列基本量运算

（一）真题示例一：等差数列基本量计算

题目：（全国新课标卷文科）已知等差数列{a?}满足a?+a?=4，a?+a?=10，则它的前10项和S??=（）

A.138B.135C.95D.23

思路分析：

本题考查等差数列的基本性质及前n项和公式。根据等差数列的性质，若m+n=p+q，则a?+a?=a?+a_q。我们可以先利用已知条件求出等差数列的首项a?和公差d，再代入前n项和公式计算S??。

详解过程：

设等差数列{a?}的首项为a?，公差为d。

由等差数列性质知：

a?+a?=2a?=4?a?=2；

a?+a?=2a?=10?a?=5。

则公差d=a?-a?=5-2=3。

又a?=a?+2d=2，即a?+2×3=2?a?=-4。

故S??=10a?+(10×9/2)d=10×(-4)+45×3=-40+135=95。

因此，答案选C。

易错点提示：

部分同学可能会直接联立方程求解a?和d，虽然可行，但利用等差数列的性质（如相邻项的关系、中项性质）往往能简化运算，提高解题速度。注意计算S??时，公式记忆要准确，避免符号错误。

（二）真题示例二：等比数列基本量与性质综合

题目：（某省高考文科卷）已知等比数列{a?}的公比为正数，且a?·a?=2a?2，a?=1，则a?=（）

A.1/2B.√2/2C.√2D.2

思路分析：

本题考查等比数列的通项公式及等比数列的性质。在等比数列中，若m+n=p+q，则a?·a?=a?·a_q。题目给出了a?·a?与a?2的关系，可利用此性质将其转化为关于公比q的方程，求出q后，再由a?=1求出a?。

详解过程：

设等比数列{a?}的公比为q，且q0。

由等比数列性质：a?·a?=a?2（因为3+9=6+6）。

已知a?·a?=2a?2，故a?2=2a?2。

又a?=a?·q，代入上式得：(a?·q)2=2a?2?a?2·q2=2a?2。

因为a?≠0（等比数列各项不为0），两边同时除以a?2得q2=2。

由于q0，所以q=√2。

又a?=a?·q=1?a?=1/q=1/√2=√2/2。

因此，答案选B。

易错点提示：

等比数列中，各项符号与公比q的正负有关，题目明确公比为正数，避免多解。应用等比数列性质时，要注意项数之和的对应关系，避免混淆。计算a?时，涉及到分母有理化，需细心处理。

三、数列的通项公式求解

真题示例三：由递推关系求通项公式

题目：（全国卷文科）已知数列{a?}满足a?=1，a???=3a?+2，求数列{a?}的通项公式。

思路分析：

本题给出的递推关系是a???=pa?+q（其中p、q为常数，p≠1）的形式，这种类型可通过构造等比数列来求解通项公式。具体方法是将递推式两边同时加上某个常数，使其变形为a???+λ=p(a?+λ)的形式，从而构造出新的等比数列{b?}={a?+λ}。

详解过程：

由a???=3a?+2，设a???+λ=3(a?+λ)，展开得a???=3a?+2λ。

与原式对比系数，得2λ=2?λ=1。

因此，a???+1=3(a?+1)。

令b?=a?+1，则b?=a?+1=1+1=2，且b???=3b?。

所以，数列{b?}是以2为首项，3为公比的等比数列。

故b?=b?·q??1=2×3??1。

从而，a?=b?-1=2×3??1-1。

易错点提