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时切线的性质与判定

ＯABC问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？观察：（1）圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系?（2)二者位置有什么关系？为什么？切线的判定定理一2020/12/132

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.OA为⊙O的半径BC⊥OA于ABC为⊙O的切线ＯABC切线的判定定理应用格式2020/12/133

判一判：下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？O.AO.ABAO(1)(2)(3)(1)不是，因为没有垂直.(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.注意2020/12/134

判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;要点归纳2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。lAlOlrd2020/12/135

例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.OBAC分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可.证明：连接OC(如图).∵OA＝OB,CA＝CB,∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.∴AB⊥OC.∵OC是⊙O的半径,∴AB是⊙O的切线.典例精析2020/12/136

思考：如图，如果直线l是⊙O的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？AlO∵直线l是⊙O的切线，A是切点，∴直线l⊥OA.切线的性质定理二切线性质圆的切线垂直于经过切点的半径．应用格式2020/12/137

理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.（1）假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,（2）则OMOA,即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾.CDBOA（3）所以AB与CD垂直.M证法1：反证法.性质定理的证明2020/12/138

CDOA证法2：构造法.作出小⊙O的同心圆大⊙O，CD切小⊙O于点A,且A点为CD的中点，连接OA,根据垂径定理，则CD⊥OA,即圆的切线垂直于经过切点的半径．2020/12/139

例2如图,△ABC中，AB＝AC，O是BC中点，⊙O与AB相切于E.求证：AC是⊙O的切线．BOCEA分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE.F2020/12/1310

证明：连接OE，OA,过O作OF⊥AC.∵⊙O与AB相切于E，∴OE⊥AB.又∵△ABC中，AB＝AC，O是BC中点．∴AO平分∠BAC，FBOCEA∴OE＝OF.∵OE是⊙O半径，OF＝OE，OF⊥AC.∴AC是⊙O的切线．又OE⊥AB，OF⊥AC.2020/12/1311

(1)有交点，连半径,证垂直;(2)无交点，作垂直,证半径.要点归纳证切线时辅助线的添加方法例1例2有切线时常用辅助线添加方法(1)见切点，连半径，得垂直.2020/12/1312

1.判断下列命题是否正确.⑴经过半径外端的直线是圆的切线.⑵垂直于半径的直线是圆的切线.⑶过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.⑷和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.⑸过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.（×）（×）（√）（√）（√）当堂练习2020/12/1313

3.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．45°2.如图所示，A是⊙O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与⊙O的位置关系是.APO第2题PO第3题DABC相切C2020/12/1314

证明：连接OP.∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，∴∠OBP=∠C.∴OP∥AC.∵PE⊥AC，∴PE⊥OP.∴PE为⊙O