第3讲 三角函数与解三角形（2021-2022年高考数学真题）（解析版）.docxVIP

第3讲三角函数与解三角形

一、单选题

1．（2022·全国·高考真题（理））双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C的两支交于M，N两点，且，则C的离心率为（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，可判断在双曲线的右支，设，，即可求出，，，在中由求出，再由正弦定理求出，，最后根据双曲线的定义得到，即可得解；

【详解】

解：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，

所以，因为，所以在双曲线的右支，

所以，，，设，，

由，即，则，，，

在中，

，

由正弦定理得，

所以，

又，

所以，即，

所以双曲线的离心率

故选：C

2．（2022·全国·高考真题）若，则（???????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.

【详解】

由已知得：,

即：，

即：,

所以,

故选：C

3．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（???????）

A．1 B． C． D．3

【答案】A

【解析】

【分析】

由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.

【详解】

由函数的最小正周期T满足，得，解得，

又因为函数图象关于点对称，所以，且，

所以，所以，，

所以.

故选：A

4．（2022·全国·高考真题（理））设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．

【详解】

解：依题意可得，因为，所以，

要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．

故选：C．

5．（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.

【详解】

解：如图，连接，

因为是的中点，

所以，

又，所以三点共线，

即，

又，

所以，

则，故，

所以.

故选：B.

6．（2022·全国·高考真题（理））函数在区间的图象大致为（???????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】

令，

则，

所以为奇函数，排除BD；

又当时，，所以，排除C.

故选：A.

7．（2022·全国·高考真题（文））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.

【详解】

由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，

解得，又，故当时，的最小值为.

故选：C.

8．（2021·全国·高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（???????）

A．和 B．和2 C．和 D．和2

【答案】C

【解析】

【分析】

利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.

【详解】

由题，，所以的最小正周期为，最大值为.

故选：C．

9．（2021·全国·高考真题（文））（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.

【详解】

由题意，

.

故选：D.

10．（2021·全国·高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（???????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；

解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.

【详解】

解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，

根据已知得到了函数的图象，所以，

令,则,

所以,所以；

解法二：由已知的函数逆向变换，

第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，

第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，

即为的图象，所以.

故选：B.

11．（2021·全国·高考