微积分第四版答案曲面的概念+曲面的第一基本形式.pdfVIP

§1曲面的概念

，

1.求正螺面=｛um,u•匸.bv｝的坐标曲线.

11：，

解u-曲线为={u-二，u,bvJ}={0,0,bv}+u{八宀

：n1

--,0｝，为曲线的直母线;v-曲线为=｛心：；八，Y•匚，bv｝为圆柱螺线.

2.证明双曲抛物面证明双曲抛物面｛a（u+v）,b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直

母线。

，

证u-曲线为，=｛a（（）,b（u-门）2u^｝=｛a,b、,0｝+u｛a,b,2

J｝表示过点｛a小,b厂,0｝以｛a,b,2「｝为方向向量的直线;

v-曲线为=｛a（（：+v）,bC-v）,2一〕v｝=｛a：l,b‘），0｝+v｛a,-

b,21｝表示过点（（」,0）以｛a,-b,2‘‘-｝为方向向量的直线。

3.求球面・；一上任意点的切平面和法线方程。

心=（一乩乞尬亡。卩厂订呂如朴羽口旦召｝

解02

心

｛一匸p,a（

cossinco;cospF0）

y-acos5sin炉x-az-ju_J

cos^?c-jcin^sin妒Z7COS呑

Qcos^ictos(p0

任意点的切平面方程为

山

即xcos「「n+zsin-a=0

z-accs^oasq?y-acosT9SITL込一肚

sm®

法线方程为

4•求椭圆柱面/■在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线,

解椭圆柱面1

的参数方程为x=cos=asiz=t

此曲面只有一个切平面

re=(-LjsinEbe恥$0}

。所以切平面方程为:

x-acos^y-bsin9

sin1?hcosi?0-0

001，即xbcos◎+yasin--ab=0

此方程与t无关，对于止的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而二的每一数值对