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第五章正态分布

白志茂

zhimaobai@163.com

;总体内个体间的变异总是客观存在的，但其变量值的分布是有一定规律的

如第二章例2.1某地120名7岁男童身高资料

频

数

身高（cm）;

取不同随机变量值的概率按随机变量值的分布称为随机变量的概率分布

概率分布是统计学赖以发展的理论基础,任何统计方法都离不开特定的统计分布;随机变量：无法事先确定其具体取值的变量

随机变量的分类：连续型随机变量和离散型随机变量

1）连续型随机变量：可在某一实数区间内任意取值

如：身高、体重等数值变量

2）离散型随机变量：变量只取有限个数或可列个数

如：性别、血型等分类变量及门诊接待的病人数等离散取

值的变量;两个重要概念：分布函数和密度函数

1）分布函数F(X)

即总体中个体值小于或等于X的观察值所占的比例

2）密度函数f(X)

对离散型随机变量，f(X)是变量取X值的概率，常记为P(X).

对连续性随机变量，f(X)是F(X)的导函数;频率密度图:直条高度表示频率密度，直条面积表示频率大小;正态分布又称Gauss分布，是最重要一种的连续型分布。

‘数学王子’高斯（1777－1855）

德国数学家、物理学家、天文学家

一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用均不太大，这个指标服从正态分布。;正态分布的重要性;若随机变量X的密度函数是：

则称随机变量X服从正态分布，X为正态变量。式中μ为随机变量X的总体均数，σ为标准差；

若X服从均数为μ，方差为σ2的正态分布，则简记为。;

正态分布的一种重要特例：标准正态分布

总体均值为零，标准差为1的正态分布称为标准正态分布，记作

。

标准正态分布的密度函数;5.2.2正态分布的性质;

3)正态分布的两个参数μ和σ决定了分布的位置和形状。

;μ是位置参数，当σ恒定时，μ越大，则曲线沿横轴越向右移动；反之，μ越小，则曲线沿横轴越向左移动。;σ是变异度参数，当μ恒定时，σ越大???表示数据越分散，曲线越“矮胖”；σ越小，表示数据越集中，曲线越“瘦高”;4）正态变量的线性变换

u称为标准正态差

图5.4一般正态分布变换成标准正态分布示意图;

当资料服从正态分布时，估计某区间的例数占总例数的百分数，或变量值落在某区间的概率

如：估计7岁男童身高低于110cm的比例；任取一名7岁男童，身高高于125cm的概率是多少等问题。

;F(X)为正态变量X的累计分布函数，反映正态曲线下，横轴尺度自-∞到X的面积

;Φ(u)为标准正态变量u的累计分布函数;标准正态分布曲线下面积?(u);[例5.1]求标准正态分布曲线下区间(-∞,1.96)的面积

先求区间(-∞,-1.96)的面积，查附表１，得标准正态分布曲线下区间(-∞,-1.96)的面积是0.0250

(2)区间(-∞,1.96)的面积为1-(1.96,∞)的面积，即1-0.025=0.975;[例5.2]求标准正态分布曲线下区间的面积与区间的面积。

(-∞,-2.58)的面积是0.0049，约为0.5％。区间(2.58,∞)的面积亦为0.5％;[例5.3]求标准正态分布曲线下区间(-1,1)的面积

区间(-1,1)的面积＝1-2×(-∞,-1)的面积

＝1-2×0.1587

＝0.6826;[例5.4]求正态分布N(119.41,4.382)曲线下区间(110.83,127.99)内的面积;谢谢大家！