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2025年离散考试试题及答案

第一部分：单项选择题（共10题，每题2分，共20分）

1.下列哪个选项不是集合的基本运算？

A.并集

B.交集

C.差集

D.乘集

2.在逻辑运算中，命题P→Q与下列哪个命题等价？

A.Q→P

B.?P∨Q

C.P∧Q

D.?P∧?Q

3.设集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A∩B等于：

A.{1,4}

B.{2,3}

C.{1,2,3,4}

D.{1,2,3}

4.下列哪个关系不是等价关系？

A.相等关系

B.整除关系

C.模n同余关系

D.相似三角形关系

5.一个有n个顶点的完全图有多少条边？

A.n

B.n-1

C.n(n-1)/2

D.n2

6.下列哪个函数不是双射函数？

A.f(x)=2x，定义域和值域都是实数集

B.f(x)=x+1，定义域和值域都是实数集

C.f(x)=x2，定义域和值域都是实数集

D.f(x)=e^x，定义域是实数集，值域是正实数集

7.下列哪个命题是永真式？

A.P∧?P

B.P∨?P

C.P→?P

D.?P→P

8.下列哪个图是树？

A.有环的连通图

B.无环但不连通的图

C.连通且无环的图

D.有n个顶点和n-2条边的连通图

9.下列哪个数不是质数？

A.2

B.3

C.17

D.21

10.下列哪个组合数等于C(5,2)？

A.C(5,3)

B.C(4,2)

C.C(6,2)

D.C(5,1)

第二部分：填空题（共5题，每题2分，共10分）

1.设集合A有m个元素，集合B有n个元素，则A×B有______个元素。

2.在逻辑中，命题P∧Q为真当且仅当______。

3.一个有n个元素的集合，其幂集有______个元素。

4.在二进制中，十进制数13表示为______。

5.递推关系a?=a???+a???，a?=1，a?=1，则a?=______。

第三部分：判断题（共5题，每题2分，共10分）

1.空集是任何集合的子集。（）

2.如果R是集合A上的等价关系，则R一定是对称的。（）

3.所有的双射函数都是满射函数。（）

4.一个有n个顶点的树一定有n-1条边。（）

5.在布尔代数中，a+1=1。（）

第四部分：多项选择题（共2题，每题2分，共4分）

1.下列哪些命题与P→Q等价？

A.?Q→?P

B.?P∨Q

C.Q∨?P

D.?(P∧?Q)

2.下列哪些图是欧拉图？

A.所有点的度数都是偶数的连通图

B.有且仅有两个点的度数是奇数，其余点的度数都是偶数的连通图

C.完全图K?

D.完全二分图K?,?

第五部分：简答题（共2题，每题5分，共10分）

1.简述集合论中的德摩根定律，并举例说明。

2.解释什么是图的着色问题，并说明四色定理的内容。

参考答案及解析

第一部分：单项选择题答案及解析

1.答案：D

解析：集合的基本运算包括并集(∪)、交集(∩)、差集(-)和补集。乘集(×)是两个集合的笛卡尔积，不是集合的基本运算。

2.答案：B

解析：在逻辑运算中，命题P→Q（P蕴含Q）与?P∨Q（非P或Q）等价。这可以通过真值表验证：当P为真时，P→Q的真值与Q相同；当P为假时，P→Q恒为真，这与?P∨Q的真值完全一致。

3.答案：B

解析：A∩B表示集合A和集合B的交集，即同时属于A和B的元素组成的集合。A={1,2,3}，B={2,3,4}，所以A∩B={2,3}。

4.答案：B

解析：等价关系必须满足自反性、对称性和传递性。相等关系、模n同余关系和相似三角形关系都满足这三个性质，而整除关系只满足自反性和传递性，不满足对称性（例如，2整除4，但4不整除2），所以不是等价关系。

5.答案：C

解析：完全图是指任意两个不同的顶点之间都有一条边相连的图。在有n个顶点的完全图中，每个顶点都与其他n-1个顶点相连，所以总边数为n(n-1)/2（因为每条边被计算了两次）。

6.答案：C

解析：双射函数既是单射又是满射。选项A、B、D中的函数都是双射函数，而选项C中的函数f(x)=x2不是单射函数（例如，f(2)=f(-2)=4），也不是满射函数（负数没有原像），所以不是双射函数。

7.答案：B

解析：永真式是指在所有可能的真值指派下都为真的命题。选项B中的P∨?P（P或非P）是排中律，无论P取何值，该命题都为真，所以是永真式。选项A中的P∧?P（P且非P）是矛