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2025年自考复变函数试卷及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）

1.函数$f(z)=\frac{1}{z-1}$在点$z=1$处的留数是

A.1

B.-1

C.0

D.2

答案：B

2.函数$f(z)=z^2+2z+3$在$z=1$处的泰勒级数展开式中，$z^0$项的系数是

A.1

B.2

C.3

D.6

答案：C

3.积分$\int_{|z|=1}\frac{1}{z^2+1}dz$的值是

A.$0$

B.$2\pii$

C.$-\pii$

D.$\pii$

答案：B

4.函数$f(z)=\sinz$在$z=0$处的洛朗级数展开式中，$z^{-1}$项的系数是

A.0

B.1

C.-1

D.$\frac{1}{2}$

答案：A

5.函数$f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}$在$z=1$处的留数是

A.1

B.-1

C.0

D.2

答案：B

6.函数$f(z)=e^z$在$z=0$处的泰勒级数展开式中，$z^3$项的系数是

A.1

B.0

C.$\frac{1}{6}$

D.$\frac{1}{3}$

答案：C

7.积分$\int_{|z|=2}\frac{1}{z(z-1)}dz$的值是

A.$0$

B.$2\pii$

C.$-\pii$

D.$\pii$

答案：B

8.函数$f(z)=\cosz$在$z=0$处的洛朗级数展开式中，$z^2$项的系数是

A.0

B.1

C.-1

D.$\frac{1}{2}$

答案：A

9.函数$f(z)=\frac{1}{z(z+1)}$在$z=-1$处的留数是

A.1

B.-1

C.0

D.2

答案：B

10.积分$\int_{|z|=1}\frac{1}{z^2}dz$的值是

A.$0$

B.$2\pii$

C.$-\pii$

D.$\pii$

答案：B

二、多项选择题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在$z=0$处解析的有

A.$f(z)=z^2$

B.$f(z)=\frac{1}{z}$

C.$f(z)=\sinz$

D.$f(z)=e^z$

答案：ACD

2.下列函数中，在$z=\infty$处解析的有

A.$f(z)=\frac{1}{z^2}$

B.$f(z)=\frac{1}{z}$

C.$f(z)=z^2$

D.$f(z)=e^z$

答案：AC

3.下列积分中，值为$2\pii$的有

A.$\int_{|z|=1}\frac{1}{z}dz$

B.$\int_{|z|=2}\frac{1}{z-1}dz$

C.$\int_{|z|=1}\frac{1}{z^2}dz$

D.$\int_{|z|=2}\frac{1}{z^2}dz$

答案：AB

4.下列函数中，在$z=0$处有奇点的有

A.$f(z)=\frac{1}{z}$

B.$f(z)=\sinz$

C.$f(z)=\frac{1}{z^2}$

D.$f(z)=e^z$

答案：AC

5.下列函数中，在$z=1$处解析的有

A.$f(z)=z^2$

B.$f(z)=\frac{1}{z-1}$

C.$f(z)=\sinz$

D.$f(z)=e^z$

答案：ACD

6.下列积分中，值为$0$的有

A.$\int_{|z|=1}zdz$

B.$\int_{|z|=1}\frac{1}{z}dz$

C.$\int_{|z|=1}z^2dz$

D.$\int_{|z|=1}\frac{1}{z^2}dz$

答案：AC

7.下列函数中，在$z=\infty$处有奇点的有

A.$f(z)=\frac{1}{z^2}$

B.$f(z)=\frac{1}{z}$

C.$f(z)=z^2$

D.$f(z)=e^z$

答案：AB

8.下列积分中，值为$0$的有

A.$\int_{|z|=1}\frac{1}{z}dz$

B.$\int_{|z|=2}\frac{1}{z-1}dz$

C.$\int_{|z|=1}\frac{1}{z^2}dz$

D.$\int_{|z|=2}\frac{1}{z^2}dz$

答案：CD

9.下列函数中，在$z=0$处有奇点的有

A.$f(z)=\frac{1}{z}$

B.$f(z)=\sinz$

C.$f(z)=\frac{1}{z^2}$

D.$f(z)=e^z