第8章几个重要的数学方法及应用.pptVIP

第1页，共13页，星期日，2025年，2月5日几个重要的数学方法及应用--混沌学混沌学是与相对论量子力学被誉为20世纪人类的三大发明，事实上，是20世纪三次重大的科学革命，成为正确的宇宙观和自然哲学的宇宙观和自然哲学的里程碑。混沌学的发现及定义：法国数学家庞加莱在19世纪至20世纪之交研究天体力学，特别是研究三体问题时发现了混沌。但当时解释不了。1986年英国皇家学会在一次会议上给出了混沌的定义：数学上指在确定性系统中出现的随机状态。第2页，共13页，星期日，2025年，2月5日几个重要的数学方法及应用--混沌学蝴蝶效应的描述：作为一名空军气象预报员的美国数学家爱德华?洛伦兹，在用计算机模拟天气情况时，发现了天气变化的非周期性和不可预报之间的联系。他形象地比喻“巴西境内的一只蝴蝶扇动几下翅膀，可能引起三个月后美国德克萨斯州的一场龙卷风。”被称为蝴蝶效应。混沌学解释：系统的长期行为对初始值的敏感依赖性。如“差之毫厘，失之千里”；“千里之堤，毁于蚁穴”；“丢了一个钉子，坏了一个蹄铁；坏了一个蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国。”第3页，共13页，星期日，2025年，2月5日几个重要的数学方法及应用--混沌学线性与非线性过程线性过程：量与量之间按比例、成直线的关系，及在空间和时间上的直线运动都是线性过程；能用一次方程表示的过程那个就是线性过程。如购物，一元一斤，十元十斤。非线性过程：量与量之间不按比例、不成直线的关系，及在空间和时间上的非直线运动都是非线性过程；如两只眼睛的视敏度是一只眼睛的6-10倍，而不是2倍。激光的生产就是非线性的。线性过程不会产生混沌，任何混沌系统必然是非线性的。但，非线性并不能保证都有混沌。第4页，共13页，星期日，2025年，2月5日几个重要的数学方法及应用--混沌学产生混沌的例子—人口模型假定在开始某一时刻某地的人口总数x0，n年后人口总数是xn，那么第n+1年的人口增长率是r=(xn+1-xn)/xn。如果该地人口增长率为常数，即r为常数，则上面的方程将对所有的n都成立。改写线性方程xn+1=(1+r)xn=f(xn)；f(x)=(1+r)x。于是xn=(1+r)xn-1=f(xn-1)=(1+r)2xn-2=…=(1+r)nx0，即xn=(1+r)nx0这就是说人口增长是指数增长。这是一个典型的非线性动力系统的模型。就是说，在一定的时间间隔中，人口的增长是按指数增长的。第5页，共13页，星期日，2025年，2月5日几个重要的数学方法及应用—模糊数学是运用数学方法研究和处理模糊性现象的一门数学新分支。它以“模糊集合论”为基础。提供了一种处理不肯定性和不精确性问题的新方法，是描述人脑思维处理模糊信息的有力工具。创始人美国控制论专家扎德。所谓模糊现象，是指客观事物之间难以用分明的界限加以区分的状态，它产生于人们对客观事物的识别和分类之时，并反映在概念之中。如高与短，美与丑，清洁与污染。模糊数学的应用领域非常之广，如图像识别，人工智能，自动控制，信息处理，中医医疗诊断等等。在研究文学艺术及语言学中也有应用，如杜甫《春望》中“白头搔更短，浑欲不胜簪”。再如，老年人，胖人。第6页，共13页，星期日，2025年，2月5日几个重要的数学方法及应用—数学建模数学建模方法分为五个阶段：第一，科学地识别与剖析实际问题；第二，建立数学模型；第三，求解数学问题；第四，研究算法，并尽可量使用计算机；第五，回到实际问题中去，解释结果；如果模型的结果与实际情况相符，则可以应用它对实际问题作进一步的分析讨论；否则，再次分析实际问题，抓主要矛盾，作必要修正，重复建模过程，直到结果与实际情况相符为止。如出租车计费方法，水费等等。第7页，共13页，星期日，2025年，2月5日几个重要的数学方法及应用—在政治学中的应用---选票分配问题选举悖论：三个候选人：A，B，C，要求选举人把候选人按优劣排成一个顺序；民意测验结果是：A，B，C；B，C，A；C，A，B。三种选票数皆为总数的三分之一，因此，三者地位相同。?A分析：较喜欢A，而不喜欢B的占三分之二；而较喜欢B，却不喜欢C的也占三分之二；因此喜欢A的人最多。?悖论原因：“好、恶”没有传递性。结论应是不确定的。?肯尼斯?阿洛曾经根据这一统计学悖论及其它逻辑原理证明：一个十全十美的选举系统在原则上是不可能实现的。这就是著名的阿洛不可能定理。他因此获得1972年诺贝尔经济学奖。第8页，共13页，星期日，2025年，2月5日几个重要的数学方法及应用—在政治学中的应用---选票分配问题选票分配问