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2026年高考数学复习新题速递之空间向量的应用

一．选择题（共8小题）

1．已知v1→，v2→分别为直线l1，l2的方向向量（l1，l2不重合），n1→，n2→分别为平面

A．v1→∥v2

C．v1→∥n

2．如图，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是AC的中点，∠ABC=π3，则折后二面角E﹣

A．55 B．-55 C．35

3．已知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的高为3，AB=22，A1B1=2

A．12 B．22 C．55

4．已知向量a→=(2，1，-5)，b

A．﹣8 B．﹣12 C．8 D．12

5．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BC1到平面ACD1的距离是（）

A．12 B．22 C．13

6．设x，y∈R，向量a→=(x，1，1)，b→=(1，y

A．22 B．3 C．10 D．

7．已知空间向量a→=(x2，

A．2或4 B．2或﹣4 C．﹣2或4 D．﹣2或﹣4

8．下列命题正确的是（）

A．若直线l的方向向量为e→=(1，0，3)，平面α的法向量为

B．若a→∥b→，则存在唯一的实数

C．若空间向量|a→|=1，|b→|=2，且a→与b→夹角的余弦值为

D．若向量a→=(2，-1，

二．多选题（共4小题）

（多选）9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E，O分别是A1B1，A1C1的中点，点P在正方体内部且满足AP→

A．BE与B1C所成角的正弦值是310

B．点O到平面ABC1D1的距离是22

C．平面A1BD与平面B1CD1间的距离为33

D．点P到直线AB的距离为5

（多选）10．已知AB→

A．AP→是平面ABC的一个法向量

B．A，B，C，Q四点共面

C．PQ→

D．BC

（多选）11．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）

A．两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a→=(2，3，-1)，b

B．两个不同的平面α，β的法向量分别是u→=(2，2，-1)

C．直线l的方向向量a→=(1，-1，2)，平面α

D．直线l的方向向量a→=(0，3，0)，平面α

（多选）12．若n→1是平面α的一个法向量，n→2是平面β的一个法向量，A，

A．b∥

B．α⊥

C．α∥β??λ∈R，使得n1

D．设α与β的夹角为θ，则cosθ＝|cos＜n1→

三．填空题（共4小题）

13．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1=3．若M是侧面BCC1B1内的动点，且AM⊥MC，则|C1M|的最小值为

14．已知平面α外一点A（0，0，1），平面α内一点B（0，1，1），平面α的一个法向量n→=(1，1，-1)，则点A到平面α

15．已知直线l过点P（1，2，1）和点Q（2，2，0），则点A（1，﹣1，﹣1）到直线l的距离为．

16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝3，若E为AB的中点，则点B1到平面D1EC的距离为．

四．解答题（共4小题）

17．如图，正直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝AB＝AA1，∠ABC＝90°，M是B1C1的中点，N是AC的中点．

（1）证明：直线MN⊥直线BC：

（2）求直线A1B与平面BCC1B1所成的角的大小．

18．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝5，E，F分别在BB1，DD1上，且DF=95，BE

（1）求证：A1C⊥平面AEF；

（2）求平面AEF与平面D1B1BD的夹角的余弦值．

19．如图，五面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形．

（Ⅰ）求证：EF∥CB；

（Ⅱ）若平面ABCD⊥平面ABF，AB=AF=12EF=1

20．已知正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均为6，G是PC的中点，E，H分别在AD，CD上，AE＝CH＝2．

（1）求证：EH∥平面PAC；

（2）若BN→=13BC

2026年高考数学复习新题速递之空间向量的应用（2025年10月）

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

A

D

B

D

B

B

C

二．多选题（共4小题）

题号

9

10

11

12

答案

BD

AD

AB

BCD

一．选择题（共8小题）

1．已知v1→，v2→分别为直线l1，l2的方向向量（l1，l2不重合），n1→，n2→分别为平面

A．v1→∥v2

C．v1→∥n

【考点】空间向量语言表述线面的垂直、平行关系；平面的法向量．

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；空间向量及应用；