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高中数学数列精讲与实战_50题深度解析,夯实基础,提升解题能力——迈向数学高分的关键一步

一、引言

在高中数学的知识体系中，数列是极为重要的一部分内容。它不仅是高考数学的重点考查对象，而且在实际生活和科学研究中也有着广泛的应用。数列问题蕴含着丰富的数学思想和方法，如函数思想、方程思想、归纳思想等。通过对数列的学习和研究，能够有效培养学生的逻辑思维能力、运算能力和综合运用知识的能力。

然而，对于许多高中生来说，数列却是一个颇具挑战性的知识点。数列的概念、通项公式的求解、前\(n\)项和的计算以及数列的综合应用等内容，常常让学生感到困惑和无从下手。为了帮助同学们更好地掌握数列知识，提升解题能力，本文将对50道典型的数列题目进行深度解析，通过这些题目的分析，帮助大家夯实基础，为迈向数学高分迈出关键的一步。

二、数列基础知识回顾

（一）数列的定义

按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列可以看作是一个定义域为正整数集\(N^+\)（或它的有限子集\(\{1,2,\cdots,n\}\)）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

（二）等差数列

1.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母\(d\)表示。

2.通项公式：\(a_n=a_1+(n-1)d\)，其中\(a_1\)为首项，\(n\)为项数。

3.前\(n\)项和公式：\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)

（三）等比数列

1.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母\(q\)（\(q\neq0\)）表示。

2.通项公式：\(a_n=a_1q^{n-1}\)，其中\(a_1\)为首项，\(n\)为项数。

3.前\(n\)项和公式：当\(q=1\)时，\(S_n=na_1\)；当\(q\neq1\)时，\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)

三、50题深度解析

（一）等差数列相关题目

题目1：已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_7=13\)，求\(a_{10}\)。

解析：首先根据等差数列通项公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，由\(a_3=5\)可得\(a_1+2d=5\)；由\(a_7=13\)可得\(a_1+6d=13\)。

用\(a_1+6d=13\)减去\(a_1+2d=5\)，得到\(4d=8\)，解得\(d=2\)。

将\(d=2\)代入\(a_1+2d=5\)，可得\(a_1+2\times2=5\)，解得\(a_1=1\)。

所以\(a_{10}=a_1+9d=1+9\times2=19\)。

题目2：等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(S_{10}=100\)，\(S_{100}=10\)，求\(S_{110}\)。

解析：根据等差数列前\(n\)项和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)，则\(S_{10}=10a_1+\frac{10\times9}{2}d=100\)，即\(2a_1+9d=20\)；\(S_{100}=100a_1+\frac{100\times99}{2}d=10\)，即\(2a_1+99d=\frac{1}{5}\)。

用\(2a_1+99d=\frac{1}{5}\)减去\(2a_1+9d=20\)，可得\(90d=\frac{1}{5}-20=-\frac{99}{5}\)，解得\(d=-\frac{11}{50}\)。

将\(d=-\frac{11}{50}\)代入\(2a_1+9d=20\)，可得\(2a_1+9\times(-\frac{11}{50})=20\)，解得\(a_1=\frac{1099}{100}\)。

所以\(S_{110}=110a_1+\frac{110\times109}{2}d=110\times\frac{1099}{100}+\frac{110\times109}{2}\times(-\frac{11}{50})=-110\)。

（二）等比数列相关题目

题目3：在等比数列\(\{a_n\}\)中，\(a_2=2\)，\(a_5=16\)，求\(a_n\)。