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七年级数学下册_深度解析与高效学习二元一次方程组全攻略

一、引言

在七年级数学下册的学习中，二元一次方程组是一个极为关键的知识点。它不仅是代数领域的重要组成部分，更是后续学习函数、不等式等内容的基础。熟练掌握二元一次方程组的相关知识，对于提升学生的数学思维能力、解决实际问题的能力都有着至关重要的作用。本文将对二元一次方程组进行深度解析，并为大家提供高效学习的全攻略。

二、二元一次方程组的基本概念

（一）二元一次方程的定义

含有两个未知数（一般用\(x\)和\(y\)表示），并且含有未知数的项的次数都是\(1\)的整式方程叫做二元一次方程。例如\(2x+3y=5\)，它满足有两个未知数\(x\)和\(y\)，且\(x\)和\(y\)的次数都是\(1\)，同时它是整式方程（分母中不含有未知数）。

（二）二元一次方程的解

使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。一般地，二元一次方程有无数组解。以方程\(x+y=3\)为例，当\(x=1\)时，\(y=2\)；当\(x=0\)时，\(y=3\)；当\(x=-1\)时，\(y=4\)等等，这些\(x\)和\(y\)的值的组合\((1,2)\)、\((0,3)\)、\((-1,4)\)等都是方程\(x+y=3\)的解。

（三）二元一次方程组的定义

把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。比如\(\begin{cases}2x+y=7\\x-y=1\end{cases}\)，它由两个二元一次方程组成，并且两个方程中未知数都是\(x\)和\(y\)。

（四）二元一次方程组的解

二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。也就是说，这个解既要满足方程组中的第一个方程，又要满足第二个方程。对于方程组\(\begin{cases}2x+y=7\\x-y=1\end{cases}\)，通过求解可以得到\(x=\frac{8}{3}\)，\(y=\frac{5}{3}\)，这组值代入两个方程都能使方程左右两边相等，所以\(\begin{cases}x=\frac{8}{3}\\y=\frac{5}{3}\end{cases}\)就是该方程组的解。

三、二元一次方程组的解法

（一）代入消元法

1.基本思路

代入消元法的基本思路是通过“代入”的方法，消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解。

2.步骤

-变形：从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来。例如对于方程组\(\begin{cases}x+2y=5\\3x-y=1\end{cases}\)，可以由第一个方程\(x+2y=5\)变形得到\(x=5-2y\)。

-代入：将变形后的方程代入另一个方程，消去一个未知数。把\(x=5-2y\)代入\(3x-y=1\)中，得到\(3(5-2y)-y=1\)。

-求解：解得到的一元一次方程。对\(3(5-2y)-y=1\)进行求解，先展开括号得\(15-6y-y=1\)，合并同类项得\(15-7y=1\)，移项得\(-7y=1-15\)，即\(-7y=-14\)，解得\(y=2\)。

-回代：把求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值。把\(y=2\)代入\(x=5-2y\)，得\(x=5-2×2=1\)。

-写解：写出方程组的解。所以原方程组的解为\(\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}\)。

（二）加减消元法

1.基本思路

加减消元法的基本思路是通过将方程组中的两个方程相加或相减，消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解。

2.步骤

-变形：使方程组中两个方程里的某一个未知数的系数绝对值相等。对于方程组\(\begin{cases}2x+3y=8\\3x-2y=-1\end{cases}\)，为了消去\(y\)，可以给第一个方程两边同时乘以\(2\)，给第二个方程两边同时乘以\(3\)，得到\(\begin{cases}4x+6y=16\\9x-6y=-3\end{cases}\)。

-加减：将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数。把上面两个方程相加，即\((4x+6y)+(9x-6y)=16+(-3)\)，得到\(13x=13\)。

-求解：解得到的一元一次方程。解得\(x=1\)。

-回代：把求得的未知数的值代入原方程组