平面的法向量与平面的向量表示 (2).pptVIP

平面的法向量与平面的向量表示第1页，共33页，星期日，2025年，2月5日第2页，共33页，星期日，2025年，2月5日3．2.2平面的法向量与平面的向量表示?第3页，共33页，星期日，2025年，2月5日若l1，l2是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，且l1⊥α，l2⊥β.问题1：若l1∥l2，则α与β有什么位置关系？提示：α∥β.问题2：若l1⊥l2，则α、β有什么位置关系？提示：α⊥β.第4页，共33页，星期日，2025年，2月5日1．平面的法向量已知平面α，如果向量n的基线与平面α，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．2．平面的向量表示式设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，适合条件·n＝0的点M构成的图形是过点A并且与向量n垂直的，通常称为一个平面的向量表示式．垂直平面第5页，共33页，星期日，2025年，2月5日3．两平面平行、垂直的判定设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则①α∥β或α与β重合?；②α⊥β??．4．正射影与三垂线定理(1)正射影：已知平面α和一点A，过点A作α的垂线l与α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的，简称．n1∥n2n1⊥n2n1.n2=0正射影射影第6页，共33页，星期日，2025年，2月5日(2)三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的垂直，则它也和这条斜线垂直．(3)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的垂直．射影射影第7页，共33页，星期日，2025年，2月5日1．用向量法证明线线、线面、面面之间的垂直关系，主要是找出直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，因此求直线的方向向量及平面的法向量是解题关键．2．一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可以根据需要进行选取，一个平面的所有法向量共线．第8页，共33页，星期日，2025年，2月5日第9页，共33页，星期日，2025年，2月5日[例1]已知点A(1，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，3)，求平面ABC的一个法向量．[思路点拨]第10页，共33页，星期日，2025年，2月5日第11页，共33页，星期日，2025年，2月5日[一点通]利用待定系数法求法向量的解题步骤：第12页，共33页，星期日，2025年，2月5日1．已知平面内的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，则该平面的一个法向量为 ()A．(1，－1，1)B．(2，－1，1)C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1)答案：C第13页，共33页，星期日，2025年，2月5日第14页，共33页，星期日，2025年，2月5日第15页，共33页，星期日，2025年，2月5日[思路点拨]建立空间坐标系．求出平面ADE与平面A1D1F的法向量求解．第16页，共33页，星期日，2025年，2月5日第17页，共33页，星期日，2025年，2月5日第18页，共33页，星期日，2025年，2月5日第19页，共33页，星期日，2025年，2月5日[一点通]设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量u＝(a2，b2，c2)，平面β的法向量v＝(a3，b3，c3)，且l?α，α与β不重合，则(1)l∥α?a⊥u?a·u＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0；(2)l⊥α?a∥u?(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)；(3)α∥β?u∥v?(a2，b2，c2)＝m(a3，b3，c3)；(4)α⊥β?u⊥v?u·υ＝0?a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.第20页，共33页，星期日，2025年，2月5日3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面