专题强化03：角平分线模型归纳 解析版.docxVIP

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专题强化03：角平分线模型归纳

【模型归纳】

模型一：角平分线与三角形

题型二：角平分线+平行线=等腰三角形

模型三：内外角平分线夹角

模型四：两外角平分线的夹角

模型五：一个内角一个外角角平分线的夹角

模型六：角平分线与高线夹角

【模型探究】

模型一：角平分线与三角形

【例1】．如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小．

【答案】28°

【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数．

【详解】如图，过点E作EF⊥AB于F，

∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，

∴DE=EF，

∵E是DC的中点，

∴DE=CE，

∴CE=EF，

又∵∠C=90°，

∴点E在∠ABC的平分线上，

∴BE平分∠ABC，

又∵AD∥BC，

∴∠ABC+∠BAD=180°，

∴∠AEB=90°，

∴∠BEC=90°-∠AED=62°，

∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，

∴∠ABE=28°．

【点睛】考查了平行线的性质与判定、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，解题关键是熟记各性质并作出辅助线．

【变式1】．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．

（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；

（2）如图2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析

【分析】（1）结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．

（2）结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．

【详解】解：（1）结论：CF=CG；

证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，

∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；

（2）CF=CG．理由如下：如图，

过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，

∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120°，

∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），

∴∠AOC=∠BOC=60°（角平分线的性质），

∵∠DCE=∠AOC，

∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60°，

∴∠MCO=90°-60°=30°，∠NCO=90°-60°=30°，

∴∠MCN=30°+30°=60°，

∴∠MCN=∠DCE，

∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，

∴∠MCF=∠NCG，

在△MCF和△NCG中，

∴△MCF≌△NCG（ASA），

∴CF=CG（全等三角形对应边相等）．

【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．

【变式2】．如图，在△OBC中，边BC的垂直平分线交∠BOC的平分线于点D，连接DB，DC，过点D作DF⊥OC于点F.

(1)若∠BOC＝60°，求∠BDC的度数；

(2)若∠BOC＝，则∠BDC＝；（直接写出结果）

(3)直接写出OB，OC，OF之间的数量关系.

【答案】（1）120°；（2）180°－α；（3）OB＋OC＝2OF

【分析】(1)首先过点D作DE⊥OB于E，易证得△DEB≌△DFC（HL），即可得∠BDC=∠EDF，又由∠EOF+∠EDF=180゜，即可求得答案；

(2)由（1），可求得∠BDC的度数;

(3)OB＋OC＝OE＋OF＝2OF

【详解】解：(1)过点D作DE⊥OB，交OB延长线于点E，DF⊥OC于F，

∵OD是∠BOC的平分线，

∴DE=DF，

∵DP是BC的垂直平分线，

∴BD=CD，

在Rt△DEB和Rt△DFC中，

∴△DEB≌△DFC（HL）

∴∠BDE=∠CDF，

∴∠BDC=∠EDF，

∵∠EOF+∠EDF=180゜，

∵∠BOC=60゜，

∴∠BDC=∠EDF=120゜．

（2）∵∠EOF+∠EDF=180゜，

∵∠BOC=α，

∴∠BDC=∠EDF=180゜-α．

故答案为：180゜-α．

（3）由（1）知OB＋OC＝OE＋OF＝2OF

【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．

题型二：角平分线+平行线=等腰三角形

【例2】．如图，已知△ABC的两边AB=5，AC