2025年大学《数理基础科学》专业题库—— 普通最小二乘估计方法.docxVIP

2025年大学《数理基础科学》专业题库——普通最小二乘估计方法

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、

简述普通最小二乘估计（OLS）的基本思想及其在线性回归模型中的作用。

二、

在线性回归模型\(Y=X\beta+\epsilon\)中，解释OLS估计量\(\hat{\beta}\)无偏性的条件。若该条件不满足，\(\hat{\beta}\)会呈现何种偏倚？

三、

列举并简要说明OLS估计量具备最佳线性无偏估计（BLUE）性质的四个高斯-马尔可夫假设。

四、

给定线性回归模型\(Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\epsilon\)，解释R-squared和调整后R-squared的区别，并说明调整后R-squared在增加解释变量时的作用。

五、

解释F检验在线性回归模型中的用途，并写出检验模型整体显著性的F统计量公式。

六、

假设你已通过OLS估计得到某个回归系数\(\hat{\beta}_1\)的估计值为0.5，标准误为0.1。请写出检验\(\beta_1=0\)对应的t统计量，并说明其含义。

七、

简述Breusch-Pagan检验的基本原理及其用于检测回归模型中是否存在异方差的方法。

八、

Durbin-Watson检验用于检测什么问题？请写出其检验统计量的基本形式，并说明如何根据其取值范围判断是否存在一阶自相关。

九、

已知一个包含100个观测值和3个解释变量的回归模型，OLS估计得到的\(\hat{\sigma}^2=25\)。请计算该模型的R-squared值为0.6时的调整后R-squared值。

十、

推导线性回归模型中OLS估计量\(\hat{\beta}\)的方差公式\(\text{Var}(\hat{\beta})=\sigma^2(\mathbf{X}^\top\mathbf{X})^{-1}\)，并解释公式中各部分的意义。

十一、

在什么条件下OLS估计量是一致估计量？请简述其大数收敛的思路。

十二、

假设在一次回归分析中，通过Breusch-Pagan检验发现模型存在异方差。请简述两种常见的处理异方差的方法。

试卷答案

一、

OLS的基本思想是通过最小化因变量观测值与模型预测值之间残差的平方和来估计回归系数。它旨在找到一条直线（或超平面），使得所有观测点到该直线的垂直距离（残差）的平方和最小。OLS在线性回归模型中扮演着核心角色，提供了模型参数的估计值，是进行参数推断和预测的基础。

二、

OLS估计量\(\hat{\beta}\)无偏性的条件是误差项\(\epsilon\)的期望值为零，即\(E[\epsilon_i]=0\)对于所有\(i\)。这意味着模型满足零条件均值假设。若该条件不满足，即\(E[\epsilon_i]\neq0\)，则OLS估计量\(\hat{\beta}\)将会系统性地偏离真实参数值\(\beta\)，产生偏倚（系统性偏差）。

三、

OLS估计量具备最佳线性无偏估计（BLUE）性质的四个高斯-马尔可夫假设是：

1.线性：模型在参数上是线性的。

2.误差项具有零均值：\(E[\epsilon_i]=0\)。

3.解释变量非随机且是固定的（或至少是Exogenous）：\(E[\epsilon_i|X]=0\)。

4.误差项同方差：\(Var(\epsilon_i)=\sigma^2\)对于所有\(i\)，且与解释变量无关。

（注：若误差项还满足独立同分布，则OLS估计量不仅是BLUE，而且是高效估计量和一致估计量）。

四、

R-squared（决定系数）衡量模型中解释变量对因变量变异的解释比例，其值介于0和1之间，计算公式为\(R^2=1-\frac{SS_{res}}{SS_{tot}}\)，其中\(SS_{res}\)是残差平方和，\(SS_{tot}\)是总平方和。调整后R-squared（AdjustedR-squared）则是在R-squared的基础上考虑了模型中解释变量的个数。它在增加解释变量时，仅当该新变量显著提高了模型的解释能力时才会增加，否则会减小。调整后R-squared考虑了模型自由度，对于比较包含不同数量解释变量的模型更具参考价值。

五、

F检验在线性回归模型中用于检验模型整体（所有解释变量）的显著性，即检验原假设\(H_0:\beta_1=\beta_2=\cdots=\beta_k=0\)，即所有解释变量前的系数同时为零。如果原假设成立，模型对因变量的解释能力与仅包含截距项的模型无异。F统