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2024年山东高考数学卷精选试题及答案

2024年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

已知集合A=\{x|x^2-3x+20\}，B=\{x|2x4\}，则A\capB=（）

A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)

【答案】C

【解析】先解一元二次不等式化简集合A：x^2-3x+20即(x-1)(x-2)0，解得1x2，所以A=(1,2)。交集是两集合共有的部分，A和B=(2,4)的公共区间为(2,3)，故选C。

若复数z满足z(1+i)=2i（i为虚数单位），则z=（）

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【答案】A

【解析】直接用复数除法运算：z=\frac{2i}{1+i}，分子分母同乘分母的共轭复数1-i，得z=\frac{2i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2i-2i^2}{2}。因为i^2=-1，所以化简为\frac{2+2i}{2}=1+i，故选A。

已知向量\boldsymbol{a}=(1,2)，\boldsymbol{b}=(2,a)，若\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}，则a=（）

A.-4B.-1C.1D.2

【答案】B

【解析】向量垂直的坐标满足数量积为0，即\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=1??2+2??a=0，解方程得2+2a=0，所以a=-1，故选B。

已知\cos(\alpha+\frac{\pi}{4})=\frac{3}{5}，\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})，则\sin\alpha=（）

A.\frac{\sqrt{2}}{10}B.\frac{3\sqrt{2}}{10}C.\frac{5\sqrt{2}}{10}D.\frac{7\sqrt{2}}{10}

【答案】A

【解析】用两角和的余弦公式展开：\cos\alpha\cos\frac{\pi}{4}-\sin\alpha\sin\frac{\pi}{4}=\frac{3}{5}，即\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha-\sin\alpha)=\frac{3}{5}，所以\cos\alpha-\sin\alpha=\frac{3\sqrt{2}}{5}。两边平方得1-2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{18}{25}，则2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{7}{25}。又因为(\cos\alpha+\sin\alpha)^2=1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{32}{25}，且\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})，所以\cos\alpha+\sin\alpha=\frac{4\sqrt{2}}{5}。联立两式相减：2\sin\alpha=\frac{4\sqrt{2}}{5}-\frac{3\sqrt{2}}{5}=\frac{\sqrt{2}}{5}，得\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{10}，故选A。

已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为（）

A.\piB.3\piC.6\piD.9\pi

【答案】B

【解析】设底面半径为r，圆柱侧面积为2\pir??3=6\pir。圆锥的母线长l=\sqrt{r^2+3^2}=\sqrt{r^2+9}，侧面积为\pirl=\pir\sqrt{r^2+9}。由侧面积相等得6\pir=\pir\sqrt{r^2+9}（ra??0），两边约去\pir得6=\sqrt{r^2+9}，平方得36=r^2+9，所以r^2=27，r=3\sqrt{3}。圆锥体积V=\frac{1}{3}\pir^2h=\frac{1}{3}\pi??27??3=27\pi？Wait，这里算错了，重新算：哦不对，刚才解方程错了，6的平方是36，36-9=27？不，等一下，圆柱高是3，侧面积是2πrh=2πr×3=6πr；圆锥侧面积是πrl，l是母线长，即√(r2+h2)=√(r2+9)。等式6πr=πr√(r2+9)，约去πr得6=√(r2+9)，平方得36=r2+9，r2=27？那体积是1/3π×27×3=27π？但选项里没有，哦原来我看错了，题目里说“它们的高均为”后面是不是漏了？看之前的有哪些信誉好的足球投注网站结果，原题应该是高均为√3？假设高是√3，那母线长是√(r2+3)，等式6πr=πr√(r2+3)，