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2025必威体育精装版考研数学线性代数专项训练题库

一、单项选择题（每题5分，共30分）

1.设A为3阶方阵，且|A|=2，则

A.?12B.?14C.1

答案：B

解析：(2A)?1=12A?1，A*=|A|A?1=2A?1，故(2A)?1?A*=12A?1?2A?1=?32A?1。

行列式|?32A?1

简化正确解法：

(2A)?1=12A?1，A*=|A|A?1=2A?1，故

2.设α1,α2,α3是3维向量空间R3的一组基，β1=α

A.1B.2C.3D.无法确定

答案：C

解析：将β1,β2,β3表示为矩阵形式：(β1,β2,

3.设A为n阶方阵，且A2=A，则A

A.0或1B.-1或1C.0或-1D.任意实数

答案：A

解析：设λ是A的特征值，对应特征向量ξ≠0，则Aξ=λξ。由A2=A得A2ξ

4.设A为4阶方阵，r(A)=3，则

A.0B.1C.3D.4

答案：B

解析：对于n阶方阵A，若r(A)=n，则r(A*)=n；若r(A)=n?1

5.设α1,α2,α3线性无关，β1=α1

A.线性无关B.线性相关C.无法确定D.部分线性相关

答案：A

解析：设k1β1+k2β2+k3β3=0，即k1(α1

6.设A为3阶对称矩阵，且A3=0，则A

A.0B.单位矩阵C.对角矩阵D.无法确定

答案：A

解析：设λ是A的特征值，则λ3是A3的特征值。由A3=0得λ3=0?λ=0，故A的特征值全为0。又

二、填空题（每题5分，共25分）

1.设A=1234

答案：?2132?12（或1?24?2

2.设α=(1,2,3

答案：-2

解析：αT

3.设A为3阶方阵，且r(A)=2，则齐次线性方程组

答案：1

解析：基础解系向量个数=n

4.设A为2阶方阵，且|A|=3，则

答案：12

解析：|kA|=kn|

5.设二次型f(x

答案：1221

解析：二次型矩阵A的元素aij满足f(x1,x2

三、解答题（共45分）

1.（10分）计算行列式D=

解析：

将第2、3、4行都加到第1行，得D=10101010234134124123=101111234134124123

2.（10分）已知向量组α1=(1,

解析：

构造矩阵A=(α1,α2,α3)=110101011，进行初等行变换：

3.（10分）求齐次线性方程组x1+

解析：

系数矩阵A=123235112，初等行变换：

r2?2r1，r3?r1得1230?1?10?1?1，r3?r2

4.（15分）设矩阵A=2101

解析：

特征方程|A?λE|=2?λ1012?λ0001?λ=(1?λ)2?λ112?λ=(1?λ)[(2?λ)2?1]=(1?λ)(λ2?4λ+3)=(1

四、证明题（10分）

设A为n阶方阵，且A2?2A?3E=0，证明：A可相似对角化。

解析：

由A2?2A?3E=0得特征方程λ2?2λ?3=0，解得λ1=3，λ2