整数根问题：二次方程因式分解与解法.pdfVIP

二次方程的整数根（2）

【因式分解】

1.求所有的整数222

k使得方程(k−k)x+(3k−2)x−(k−4)=0的根是整数。

解：①当k=0或k=1时，符合题意；

②当k≠0且k≠1时，原方程分解因式得[kx+(k+2)][(k−1)x−(k−2)]=0

k+22

x1=−=−1−,k=±1,±2，

kk

k−2

x==1−1

2,k−1=±1,k=0,2，

k−1k−1

则k=2。

综上，k=0,1,2时符合题意。

2

2.已知关于x的方程(a−1)x+2x−a−1=0的根都是整数，符合条件的整数a有多

少个？

解：①：当a−1=0时，即a=1时，方程有一个整数根x=1；

②：当a−1≠0时，即a≠1时，原方程可化为(x−1)[(a−1)x+(a+1)]=0

−a−12

∴x1=1，x2==−1−，

a−1a−1

∵a、x都是整数，

2

∴

a−1=±1,±2，

∴

a=−1,0,2,3

综上所述：a=1,−1,0,2,3，共5个。

22

3.已知关于x的一元二次方程(k−8k+15)x−2(13−3k)x+8=0的根都是整数，

求实数k的值。

解：k≠3且k≠5，原方程可化为[(k−5)x+2][(k−3)x+4]=0

24

解得：x1=，x2=，x1≠0,x2≠0。

5−k3−k

2424

∴k=5−，k=3−，消去k，得−=2，