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高中数学二次根式提升讲义与题解

方法归纳：分母有理化是处理分母含根号问题的常规手段，选择正确的有理化因式是核心。

（四）利用二次根式解决综合性问题

例6：已知`x=(√3+√2)/(√3-√2)`，`y=(√3-√2)/(√3+√2)`，求`x2-3xy+y2`的值。

分析：直接代入计算会非常繁琐。观察到`x`和`y`互为倒数或可以化简，且`x2-3xy+y2`可以变形为`(x-y)2-xy`或`(x+y)2-5xy`，因此可先化简`x`和`y`，或先求出`x+y`与`xy`的值，再整体代入。

解答：

先化简`x`和`y`：

`x=(√3+√2)/(√3-√2)=[(√3+√2)]2/[(√3)2-(√2)2]=(3+2√6+2)/(3-2)=5+2√6`

`y=(√3-√2)/(√3+√2)=[(√3-√2)]2/[(√3)2-(√2)2]=(3-2√6+2)/(3-2)=5-2√6`

方法一：直接计算`x-y`和`xy`

`x-y=(5+2√6)-(5-2√6)=4√6`

`xy=(5+2√6)(5-2√6)=25-(2√6)2=25-24=1`

`x2-3xy+y2=(x-y)2-xy=(4√6)2-1=16×6-1=96-1=95`

方法二：计算`x+y`和`xy`

`x+y=(5+2√6)+(5-2√6)=10`

`xy=1`（同上）

`x2-3xy+y2=(x+y)2-5xy=102-5×1=100-5=95`

方法归纳：对于条件中给出的`x`、`y`表达式较为复杂，而所求代数式为对称式（如`x+y`、`xy`、`x2+y2`等）的问题，通常先化简`x`、`y`或先求出`x+y`与`xy`的值，再利用整体代入的思想求解，可大大简化运算。

三、总结与提升

二次根式的学习，核心在于理解其概念的本质——算术平方根，并能熟练运用其性质进行化简与运算。从定义中的非负性，到性质中的平方与开方关系，再到具体运算中的技巧，每一个环节都需要同学们用心体会，勤加练习。

在解题过程中，要特别注意以下几点：

1.“非负性”是灵魂：时刻牢记被开方数的非负性和二次根式本身的非负性，它是解决许多问题的隐含条件。

2.“化简”是前提：进行加减运算前务必化简为最简二次根式；进行乘除运算时，化简也能使计算更简便。

3.“公式”是工具：乘法公式、绝对值的性质等都是简化二次根式运算的有力工具，要灵活运用。

4.“分母有理化”是难点：掌握常见形式的有理化因式，多练习，自然就能熟练掌握。

希望这份讲义能为同学们的二次根式学习提供有益的帮助。数学的学习，贵在理解与运用，遇到问题多思考，多总结，定能有所收获。