E-反演半群与E_-稠密半群及其同余性质深度剖析.docxVIP

E-反演半群与E*-稠密半群及其同余性质深度剖析

一、引言

1.1研究背景与意义

半群代数理论作为代数学的重要分支，在数学的众多领域以及其他学科中都有着广泛且深入的应用。它起源于对群和环的推广研究，最早可追溯至1904年苏士凯维奇（Suschkwitz,A.K.）关于有限半群的研究，然而其系统研究始于20世纪50年代。在20世纪60年代，随着《半群》和《半群代数理论》的出版，半群代数理论在国际上得到了迅速发展，逐渐成为代数学中一个备受关注的独立分支。如今，半群理论不仅在数学内部，如拓扑理论、泛函分析、组合数学等领域发挥着重要作用，还在工程技术、计算机科学、物理学、生物学等外部学科中展现出强大的应用价值，为解决这些领域的实际问题提供了有力的数学工具和理论支撑。

在半群的众多研究对象中，E-反演半群和E*-稠密半群占据着特殊的地位。E-反演半群的概念由Thierrin于1972年引入，它是一类具有特殊性质的半群，其中每个元素都存在弱逆元，即对于半群S中的任意元素a，都存在x∈S，使得ax为幂等元。由于有零半群一定是E-反演的，为避免这类特殊情形，Lattement在1982年引入了0-反演半群的概念，也就是现在所说的E*-稠密半群，其定义为对于有零半群S中的任意非零元素a，都存在x∈S，使得ax≠0且ax为幂等元。这两类半群是正则半群和有限循环半群的自然推广，它们的研究丰富了半群代数理论的内容，为深入理解半群的结构和性质提供了新的视角。

对E-反演半群和E*-稠密半群及其同余的研究具有重要的理论意义。一方面，它们是半群代数理论的重要组成部分，深入研究这两类半群及其同余可以进一步完善半群理论的体系架构，揭示半群结构和性质的一般性规律，为解决半群理论中的一些开放性问题提供新的思路和方法。例如，通过研究E-反演半群中元素与弱逆元的关系，可以更好地理解半群中元素的运算规律和性质；通过探讨E*-稠密半群上的同余关系，可以深入剖析半群的内部结构和分类。另一方面，同余关系在半群研究中起着核心作用，它是研究半群结构和性质的重要工具。通过研究这两类半群上的同余，可以刻画半群的商结构，进而研究半群的各种性质，如正则性、逆性等。例如，通过研究E-反演半群上的群同余，可以得到该半群的群结构性质；通过研究E*-稠密半群上的幂等元分离同余，可以分析半群中幂等元的分布和性质。

此外，这些研究成果还可能在实际应用中发挥作用。在计算机科学的自动机理论中，半群的结构和性质可以为自动机的状态转换和行为分析提供数学模型，而E-反演半群和E*-稠密半群及其同余的研究成果有望为构建更高效、准确的自动机模型提供理论支持。在物理学中，对于某些具有特定对称性和相互作用的物理系统，半群理论可以为其建立数学描述，而这两类半群的研究可能有助于更深入地理解和描述这些物理现象。在密码学领域，半群的性质和同余关系可以为设计加密算法提供理论依据，E-反演半群和E*-稠密半群的相关研究成果可能为开发更安全、高效的加密算法提供新的思路。

1.2国内外研究现状

国外学者对E-反演半群和E*-稠密半群的研究开展较早。Catino和Miccoli、Mitsch、Mitsch和Petrich等学者在早期就对E-反演半群的基本性质进行了研究，为后续的研究奠定了基础。1990年，Mitsch研究了E-反演半群的子直积，进一步拓展了对E-反演半群结构的认识。Fountain和Hayes研究了幂等元的集合是子半群的E*-稠密半群，从幂等元的角度深入探讨了E*-稠密半群的性质。2004年，Hayes研究了一类特殊的E*-稠密E-半群，即当幂等元的集合是矩形带的情形，为研究特殊结构的E*-稠密半群提供了范例。

在国内，也有许多学者致力于这两类半群的研究。江中豪在1994年将Mitsch关于E-反演半群子直积的结果推广到E-反演E-半群上，进一步丰富了E-反演E-半群的研究成果。关于E-反演半群上的同余，郑恒武在1997年研究了E-反演半群上的群同余；范兴奎和孟祥芹利用“核-迹”与“核正规系”方法刻画了E-反演E-半群上的强同余；罗彦峰等利用“核迹”方法刻画了E-反演半群上的正则同余。然而，对于E*-稠密E-半群上同余的研究，目前还相对较少，虽然有一些初步的探索，但在全面性和深入性上仍有待加强。

已有研究在E-反演半群和E*-稠密半群的性质和同余方面取得了一定