2026年高考数学一轮总复习（人教A版） 高考难点突破 高考中的函数与导数问题（含解析）.docxVIP

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高考难点突破高考中的函数与导数问题

2026年高考数学一轮总复习（人教A版）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、解答题

1．已知函数是的导函数.若对，都有成立，求实数的取值范围.

2．已知函数．

(1)当时，求的单调区间与极值；

(2)若在上有解，求实数的取值范围．

3．已知函数，若恒成立，求a的取值范围.

4．已知函数（其中为自然对数的底数），函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.

5．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)证明：当时，．

6．已知函数.当时，证明：.

7．已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)当时，证明：当时，恒成立．

8．已知函数，曲线在点（1，f(1)）处的切线的斜率为2

(1)设，若函数在[m，＋∞）上的最小值为0，求m的值；

(2)证明：．

9．已知函数．

(1)判定函数的单调性；

(2)求证：．

10．已知函数

(1)讨论的单调性；

(2)当时，证明

11．已知函数．

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)当时，讨论的零点个数．

12．已知函数．

（1）若，求的单调区间；

（2）证明：只有一个零点．

13．已知函数．

(1)若，分析的单调性；

(2)若在区间上有零点，求实数的取值范围．

14．已知函数.若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围.

15．已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

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参考答案

1．.

【详解】首先利用参变分离为恒成立，转化为构造函数，利用导数求函数的最大值.

因为任意，都有成立，所以恒成立，即，

记，，

记，所以，

所以在区间单调递增，所以，所以，即在区间上单调递增，且，所以.

2．(1)在上单调递减，在上单调递增，极小值，无极大值；

(2)

【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可；

（2）不等式变形为在上有解，构造函数，，利用导数研究函数的单调性，求解的最小值，即可得到答案．

【详解】（1）当时，，所以，

当时；当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时函数有极小值，无极大值；

（2）在上有解，

即在上有解，

即在上有解，

令，，

则

由（1）知时，即，

所以当时，当时；

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，，所以，

综上可知，实数的取值范围是.

3．

【分析】设，得到，令，得到，令，求得，得到为单调递增函数，得到，分和，两种情况讨论，即可求解.

【详解】由函数，可得

设，

可得，

令，其中，可得，

令，

可得，

所以函数为单调递增函数，所以，

①若时，，即在上单调递减，

所以，所以，当时，，符合题意；

②若时，当时，，

所以，，

所以，使得，即，使得，

当时，，即时，，单调递增.

所以当时，，不合题意.

综上可得，的取值范围为.

4．(1)

(2)

【分析】（1）利用导数几何意义可求得切线斜率，结合可求得切线方程；

（2）将问题转化为；利用导数可求得单调性，得到；求得后，分别在、和的情况下，讨论的单调性，得到，由此可构造不等式求得的取值范围.

【详解】（1），，又，

在点处的切线方程为：，即.

（2）对，不等式恒成立，；

，当时，恒成立，

在上单调递增，；

，令，解得：或；

①当，即时，在上恒成立，在上单调递增，

，由得：，解得：；

②当，即时，

若，则；若，则；

在上单调递减，在上单调递增，

，不满足；

③当，即时，在上恒成立，在上单调递减，

，由得：，解得：（舍）；

综上所述：实数的取值范围为.

5．(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；

（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.

方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.

【详解】（1）因为，定义域为，所以，

当时，由于，则，故恒成立，

所以在上单调递减；

当时，令，解得，

当时，，则在上单调递减；

当时，，则在上单调递增；

综上：当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）方法一：

由（1）得，，

要证，即证，即证恒成立，

令，则，

令，则；令，则；

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，则恒成立，

所以当时，恒成立，证