专题6-3方程思想解题技巧（考题猜想，10种技巧）解析版.docxVIP

专题6-3方程思想解题技巧（考题猜想，10种技巧）

技巧1：方程思想在证三角形形状中的应用

【例题1】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】本题考查了勾股逆定理以及三角形内角和性质，据此逐项分析，即可作答．

【详解】解：A、设，则

解得，则，故该选项是符合题意的；

B、因为，所以，解得，故该选项是不符合题意的；

C、设，则，即，所以是直角三角形，故该选项是不符合题意的；

D、因为，所以是直角三角形，该选项是不符合题意的；

故选：A

【变式1】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）在中，给出以下4个条件：

①；②；③；④．

从中任取一个条件，可以判定出是直角三角形的有．（填序号）

【答案】①②③

【分析】由可直接得出是直角三角形，可判断①；由，结合三角形内角和定理可求出，得出是直角三角形，可判断②；由，可设，则，，根据勾股定理逆定理即可证明是直角三角形，可判断③；由，可设，则，，结合三角形内角和定理可求出，从而即可证明，可判断④．

【详解】解：①可直接得出是直角三角形；

②∵，，

∴，

∴，故是直角三角形；

③∵，故可设，则，，

又∵，即，

∴是直角三角形；

④∵，故可设，则，，

∵，

∴，

解得：，

∴，，，

∴不是直角三角形．

故答案为：①②③．

【点睛】本题考查直角三角形的定义，三角形内角和定理，勾股定理逆定理．熟练掌握以上知识点是解题关键

【变式2】（22-23八年级下·山东德州·阶段练习）如图，在中，，，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，于点F．

??

(1)若，求的长；

(2)若，求证：为直角三角形．

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）连接，根据是的垂直平分线，求出，设，则，根据勾股定理得出，即，求出x的值；

（2）设，则，，根据勾股定理得出，取出，得出，根据，得出为直角三角形．

【详解】（1）解：连接，如图所示：

??

∵是的垂直平分线，

∴，

设，则，

在中，

即，

解得：，

∴．

（2）证明：∵是的垂直平分线，

∴设，则，，

∵，

∴，

∴，

，

∴，

解得：，

∴，

∵，

∴为直角三角形．

【点睛】本题考查了勾股定理的应用、相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及直角三角形的等面积法，熟知相关知识是解决本题的关键

【变式3】（22-23八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于两点，，，直线与直线交于点．

??

(1)求直线的解析式；

(2)判断的形状，并说明理由；

(3)动点在直线上，动点在直线上，当以为顶点的四边形是平行四边形时，求两点的坐标．

【答案】(1)

(2)是直角三角形

(3)

【分析】（1）根据题意得到，代入直线，进行计算即可得到答案；

（2）联立可求得，根据两点间的坐标公式可得，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可得到答案；

（3）设，而，分三种情况：当以为对角线时，则的中点重合；当以为对角线时，则的中点重合；当以为对角线时，则的中点重合，根据平行四边形的性质，分别进行计算即可得到答案．

【详解】（1）解：，，

，

将代入直线，

得，，

解得：，

直线的解析式为：；

（2）解：联立得，，

解得：，

，

，

，

为直角三角形；

（3）解：设，而，

当以为对角线时，则的中点重合，

，

解得：，

，此时与重合，不符合题意，

当以为对角线时，则的中点重合，

，

解得：，

，此时与重合，不符合题意，

当以为对角线时，则的中点重合，

，

解得：，

，

综上所述，当以为顶点的四边形是平行四边形时，．

【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、解二元一次方程组、勾股定理的逆定理、两点间的距离公式等知识，熟练掌握平行四边形的性质、解二元一次方程组、勾股定理的逆定理、两点间的距离公式等知识，是解题的关键

技巧2：方程思想在求阴影部分的面积中的应用

【例题2】（2024春?南宁期中）如图，长方形中，，，将该矩形沿对角线折叠．

（1）求的长；

（2）求阴影部分的面积．

【分析】（1）首先证明△，进而得到为等腰三角形，设，则．勾股定理得，进一步解答即可；

（2）直接利用三角形面积计算公式代入数据解答即可．

【解答】解：（1）四边形为长方形，

，．

又，

△

．

为等腰三角形；

设，则．

在中，由勾股定理得，

解得，

的长为15；

（2）由（1）得，

．

【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

【变式1】（20-